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Juros Compostos- Matemática financeira e EDO

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Mensagem por Daiianna Sáb 02 Nov 2019, 09:24

1.   Um determinado universitário pede um empréstimo de R$8.000,00 para comprar um carro. A financeira cobra juros de 10% ao ano. Supondo que os juros são capitalizados continuamente e que os pagamentos são feitos continuamente a uma taxa anual de constante k, determine a taxa de pagamento necessária para quitar o empréstimo em 3 anos. Determine, também, quanto é pago de juros durante esses 3 anos (BOYCE, DIPRIMA, 2012, p. 47).
2.  
(BOYCE, DIPRIMA, 2012, p. 47).

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Daiianna
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Mensagem por Baltuilhe Sáb 02 Nov 2019, 16:07

Boa tarde!

Dados:

  • Empréstimo: R$ 8.000,00
  • Taxa de juros: i=10%a.a., capitalizados continuamente
  • Taxa anual constante de pagamento: k
  • Prazo: 3 anos

Então, lançando mão da capitalização contínua sob uma taxa instantânea \delta:
\delta=\ln\left(1+i\right)

Podemos calcular:
PV=k\cdot\dfrac{e^{\delta n}-1}{\delta e^{\delta n}}\Rightarrow \boxed{PV=k\cdot\dfrac{\left(1+i\right)^n-1}{\left(1+i\right)^n\cdot\ln\left(1+i\right)}}

Calculando:

8\,000=k\cdot\dfrac{\left(1+10\%\right)^3-1}{\left(1+10\%\right)^3\cdot\ln\left(1+10\%\right)}\\\\
8\,000=k\cdot\dfrac{1,1^3-1}{1,1^3\cdot\ln\;1,1}\\\\
k=\dfrac{8\,000\cdot 1,1^3\cdot\ln\;1,1}{1,1^3-1}\\\\
\color{blue}\boxed{k\approx 3\,066,05}


Total de juros pagos:
3\cdot 3\,066,05-8\,000=1\,066,05

Espero ter ajudado!

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