Transformação de Lorentz (TL) especiais sucessivas

Demonstre que duas TL especiais sucessivas na mesma direção, com parâmetros \beta_1 \equiv \frac{V_1}{c}  e \beta_2 \equiv \frac{V_2}{c}, equivalem a uma TL única, e calcule o parâmetro \beta correspondente.

Boosts não formam um subgrupo do grupo de Lorentz, e portanto, em geral a composição de dois deles não resulta em um terceiro, e sim em um boost + rotação (Precessão de Thomas.)

Mas em uma mesma direção, é claro, os boosts formam um subgrupo unidimensional. O parâmetro  é simplesmente . Então o parâmetro resultante é a velocidade resultante dividida por c.

Como   e , então



Como também , já que a velocidade do primeiro referencial no referencial da partícula é o negativo da velocidade da partícula no primeiro referencial, temos 



O parâmetro procurado é simplesmente .