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Os três quadrados

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Os três quadrados Empty Os três quadrados

Mensagem por Elcioschin Sex 05 Ago 2011, 12:00

A figura abaixo representa três quadrados iguais com lados comuns.
Usando apenas Geometria Plana (sem usar Geometria Analítica ou Trigonometria), prove que:

A + B = C

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Mensagem por Viniciuscoelho Sab 06 Ago 2011, 22:06

Excelente questão, Mestre Elcio!
O Senhor a elaborou ou a retirou de algum livro?

Grato desde já.

Geomet plana 3 quadrados(function() { var scribd = document.createElement("script"); scribd.type = "text/javascript"; scribd.async = true; scribd.src = "http://www.scribd.com/javascripts/embed_code/inject.js"; var s = document.getElementsByTagName("script")[0]; s.parentNode.insertBefore(scribd, s); })();

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Mensagem por Elcioschin Dom 07 Ago 2011, 08:57

Vinicius

Que solução complexa!!!!

Eu retirei de um livro recentemente adquirido.

Existe uma solução bem mais simples, porém BASTANTE criativa, envolvendo apenas:

1) Ângulo externo de triângulo
2) Teorema de Pitágoras
3) Semelhança de triângulos
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Mensagem por Viniciuscoelho Dom 07 Ago 2011, 13:11

Mestre Elcio, meu amigo Leornado Lima resolveu de forma muito mais simples e elegante, considerando como referencial a solução, que apresentei.


Solução do Leornado Lima

Considere a associação:
A-E
E-B
C-C

Temos:
EC/AC = BC/EC
ângulo C = ângulo C (mesmo âng.)

Pelo caso LAL de semelhança, triâng. AEC~triâng.EBC
Em particular, m(BEC) = m(EAC)= a

Fixando o triâng. EBC, vale que o âng. externo é igual à soma dos internos não adjacentes, ou seja, a + b = c, cqd


Abraços

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Mensagem por Elcioschin Dom 07 Ago 2011, 18:16

Eis a solução do livro

Acrescentei na figura mais alguns quadrados e chamei de X o ângulo BÊC

Pelo teorema do ângulo externo do triângulo BEC ----> C = B + X

Para provar a questão, basta provar X = A

Seja 1 o lado do quadrado

1) Note que o triângulo retângulo ADC tem um cateto que que é o triplo do outro:

AD = 3*DE = 3

2) Note agora o triângulo EQP:

PE² = 2² + 4² ---> PE² = 20
QE² = 3² + 3² ---> QE² = 18 ---> QE = 3*\/2
PQ² = 1² + 1² ---> PQ² = 2 ----> PQ = \/2

O triângulo EQP é retângulo ----> PE² = QE² + PQ²
Um cateto é o triplo do outro

Logo, os triângulos ADE e EQP são semelhantes ----> X = A

Provado !!!

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Mensagem por Viniciuscoelho Dom 07 Ago 2011, 22:31

Muito boa a solução do livro, Mestre Elcio.


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Mensagem por rodrigomr Seg 08 Ago 2011, 09:23

que solução genial!
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