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Curvatura da Terra vista do espaço

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Curvatura da Terra vista do espaço Empty Curvatura da Terra vista do espaço

Mensagem por marcomartim Seg 02 Set 2019, 01:30

Um astronauta à bordo da ISS com linha de visada no centro da janela à 1 metro de distância, visualiza a curvatura da terra que aparentemente toca no centro os dois lados da janela.
Sabendo-se que a ISS orbita a 360 km de altura, o raio da Terra é de 6371 Km e a janela quadrada mede 1 metro de lado, considerando a calota esférica visível como um segmento circular, qual é a medida real da corda e qual é a altura do segmento?
Ps: Será considerado válido uma tolerância de 5%


Última edição por marcomartim em Sex 06 Set 2019, 20:17, editado 5 vez(es) (Motivo da edição : inclusão de dado, melhor redação, margem de tolerância)
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Curvatura da Terra vista do espaço Empty Re: Curvatura da Terra vista do espaço

Mensagem por mauk03 Qui 30 Set 2021, 20:01

Sendo A a posição da ISS, C o centro da Terra e M e N os extremos do segmento real, tem-se a imagem do exterior da ISS (visão lateral):
Curvatura da Terra vista do espaço Fig112

Sendo P o olho do astronauta, O o centro da janela e S e T os extremos do segmento visto pela janela, tem-se a imagem do interior da ISS (visão frontal da janela):
Curvatura da Terra vista do espaço Fig212

Como AC//PQ e AB//OP, então os triângulos ABC e OPQ são semelhantes, de forma que AB/PQ = BC/OQ = AC/OP. Ilustrando isso, com A = P (já que ambos indicam a posição do astronauta):
Curvatura da Terra vista do espaço Fig310

Já que o astronauta observa uma calota esférica, então os segmentos de circunferência da visão frontal e da visão lateral tem o mesmo comprimento e altura, de forma que o segmento de extremidades e M e N é semelhante ao segmento de extremidades S e T.

Desta forma, pela proporcionalidade do problema, tem-se:
MN/ST = BC/OQ ⇒ MN/1 = BC/1 ⇒ BC = MN

Sendo θ o ângulo do vértice C do triângulo BCM, tem-se:
tan(θ) = BM/BC = (MN/2)/MN = 1/2 ⇒ θ = arctan(1/2) ≈ 26,57°

Assim, o comprimento do arco real é dado por:
s(MN) = 2πR*2θ/360° = 2*π*6371*2*26,57°/360° = 5908,9 km

Por Pitágoras no triângulo BCM:
CM² = BC² + BM² ⇒ 6371² = MN² + (MN/2)² ⇒ MN = BC = 12742/√5 km ≈ 5698,4 km

Logo, a altura do segmento é dada por:
h = R - BC = 6371 - 5698,4 = 672,6 km
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