Circunferência inscrita no triângulo - EsFAO

por SanchesCM Sex 09 Ago 2019, 17:00

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa vale h e o raio do círculo inscrito vale r. A razão entre a área do círculo e a área do triângulo é:

R: \frac{\pi R}{h+2R}

Labutei com as semelhanças, mas não saiu. Se alguém puder ajudar fico grato.

por **Rory Gilmore** Sex 09 Ago 2019, 17:46

Área de qualquer triângulo em função do raio do círculo inscrito:
St = p.r

Área da circunferência:
Sc = ∏.r²

Razão pedida:
Sc/St = ∏.r²/p.r
Sc/St = ∏.r/p

p é o semiperímetro
p = (b + c + h)/2

É possível provar que:
b + c = h + 2r

Logo:
p = (h + 2r + h)/2

p = (2h + 2r)/2

p = h + r

Sc/St = ∏.r/(h + r)

Deixo como desafio fazer as provas conforme as imagens: