EN 2017/2018 Gravitação Universal e Leis de Kepler

por GBRezende Sex 17 maio 2019, 23:56

Eu "acertei" sem muita confiança, estou meio fraco nessa matéria, e seria eternamente grato se alguém pudesse verificar minha resolução.
(EN)Analise a figura a seguir.

EN 2017/2018 Gravitação Universal e Leis de Kepler 51e61910

A figura acima exibe um sistema binário de estrelas, isolado, que é composto por duas estrelas de mesmo tamanho e de mesma massa M. O sistema, estável, gira em torno do seu centro de massa com um período de rotação constante T. Sendo D a distância entre as estrelas e G a constante gravitacional universal, assinale a opção correta.

R.: b) GMT²= 2π²D³; a velocidade angular de cada uma das estrelas em relação ao centro de massa do sistema é constante; a energia cinética do sistema é conservada.

Como fiz:

Força grav. entre eles = GM²/D²
A força grav. é a força centrípeta em ambos, mas em um movimento com distância D/2(esta é a parte confusa, pois não há um corpo "fixo" como o Sol gerando as translações).
GM²/D² = MV²/(D/2)
GM = 2V²D

Temos W = 2pi/T W=V. angular = V/R
V/(D/2) = 2pi/T
V = D*pi/T Substituindo

GM = 2D²*pi²*d/T²
GMT² = 2D³*pi²

A minha maior dúvida é de as vezes usarmos D como a distancia, as vezes D/2. Eu carteei que D/2 daria a resposta. A vel. angular é a mesma por causa da 1a Lei de Kepler, né? Novamente, agradeço.

por **Leonardo Mariano** Sáb 18 maio 2019, 02:07

GBRezende escreveu:A minha maior dúvida é de as vezes usarmos D como a distancia, as vezes D/2. Eu carteei que d/2 daria a resposta.

O valor do raio da órbita é determinado pelas massas das duas estrelas que compõem o sistema, nesse caso específico que as massas são iguais, ocorre que o centro de massa delas é metade da distância:
X_{cm} = \frac{m_1.0+m_2.d}{m_1 + m_2} \rightarrow Como \: m_1=m_2: \: X_{cm} = \frac{m_2d}{2m_2}\rightarrow X_{cm} = \frac{d}{2}

Se as massas fossem diferentes, cada uma iria ter um raio de órbita diferente, onde o corpo de maior massa teria um raio menor e o de menor massa um raio maior.

GBRezende escreveu:A vel. angular é a mesma por causa da 1a Lei de Kepler, né?

No caso da velocidade angular constante, creio que isso ocorre nesse caso pois a órbita é circular, então a estrela tem sempre a mesma velocidade linear, pois como o raio é constante, a área varrida será sempre a mesma, sem necessidade de que a velocidade linear varie e fazendo com que a velocidade angular nunca mude.

Esse tópico pode ajudar também: https://pir2.forumeiros.com/t152424-energia-mecanica-de-um-sistema-binario-gravitacional