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Desafio de Eletromagnetismo

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Desafio de Eletromagnetismo  Empty Re: Desafio de Eletromagnetismo

Mensagem por Giovana Martins Sex 26 Abr 2019, 08:11

Cheguei na resposta a seguir:

v_{max}=\frac{BLCV_0}{B^2L^2C+M}

A noite eu tento postar as minhas ideias.
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Desafio de Eletromagnetismo  Empty Re: Desafio de Eletromagnetismo

Mensagem por Giovana Martins Sab 27 Abr 2019, 10:17

Eu parti do seguinte princípio: inicialmente, associaremos o capacitor a fonte V0 de tensão. Após carregarmos completamente o capacitor, o associaremos ao circuito no qual está a barra e ali o capacitor descarregará a sua carga. Ao conectar o capacitor no circuito, surge uma corrente no circuito dada por:

i=\frac{V_0}{R}

Na barra surge uma força magnética dada por:

F_M=BLi

a qual é responsável por colocar a barra em um movimento acelerado. Daí vem que a aceleração da barra é dada por:

\sum \vec{F}\neq \vec{0}\to F_M=Ma\to a=\frac{BLV_0}{MR}

Agora, vamos para o nosso problema de fato. Primeiramente, eu irei mexer um pouco com a relação do fluxo eletromagnético. Antes de tudo, seja "x" o comprimento percorrido pela barra, assim, a área percorrida pela barra varre uma área equivalente a Lx. Daí vem:

\varepsilon =\frac{d\Phi _B}{dt}\to \varepsilon =\frac{d}{dt}(BLx)\to \varepsilon =BL\frac{dx}{dt}\to \varepsilon =BLv

Assim, fizemos aparecer a velocidade que nos interessa. Note que ainda podemos escrever a seguinte relação:

\varepsilon =\frac{Q}{C}\ \therefore \ BLv=\frac{Q}{C}

Com o intuito de simplificar o problema, eu direi que a velocidade da barra é máxima na situação em que a velocidade da barra é constante. A barra adquire velocidade constante quando a carga do capacitor é mínima. Isso acontece da seguinte forma, conforme a carga do capacitor diminui, isso é transferido ao circuito na forma de voltagem, assim, a tensão induzida na barra vai aumentando até que ambas as tensões tornem-se iguais, situação na qual o capacitor atinge a carga mínima e a velocidade da barra se torna constante (velocidade que admitiremos como máxima). Assim, eu escrevei a última equação explicitada da seguinte forma:

BLv_{max}=\frac{Q_f}{C}\to v_{max}=\frac{Q_f}{BLC}\ (1)

Como eu disse acima, ao ser conectado no circuito que contém a barra, o capacitor experimentará uma variação de carga dado o descarregamento do capacitor. Sabendo-se disso, eu irei explicitar mais algumas relações.

\\\sum \vec{F}\neq \vec{0}\to F_M=Ma\to BLi=M\frac{dv}{dt}\\\\-BL\frac{dQ}{dt}=M\frac{dv}{dt}\to -BL(Q_f-Q_i)=M(v_f-v_i)\\\\BL(Q_i-Q_f)=M(v_{max}-0)\to BL(CV_0-Q_f)=Mv_{max}\ (2)

Das equações (1) e (2), concluímos que a velocidade máxima e a carga mínima são dadas, respectivamente, por:

\boxed {v_{max}=\frac{BLCV_0}{M+B^2L^2C}}\ \wedge\ \boxed {Q_f=\frac{B^2L^2C^2V_0}{M+B^2L^2C}}
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