Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
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Giovana Martins
Leo Consoli
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Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
Relembrando a primeira mensagem :
Link:https://drive.google.com/file/d/1NN6EcFNDuHvLlst-Gy9GIlIj2AvlebfE/view
O John Carter enviou aqui no fórum alguns simulados do IME/ITA e algumas listas, um dos simulados de matemática não tem gabarito então achei uma boa solucionar ele.
1. Resolvida por Leo Consoli
2. Resolvida por Thanos
3. Resolvida por Leo Consoli
4. Resolvida por Matheus Tsilva
5. Resolvida por Giovana Martins
6. Resolvida por fantecele88
7. Resolvida por Giovana Martins
8. Resolvida por Leo Consoli
9. Resolvida por Giovana Martins
10. Resolvida por fantecele88
Vou abrir fazendo a questão 1:
Prove que a soma
1^k+2^k+3^k+....+n^k
em que n é um inteiro qualquer e k é impar, é divisível por 1+2+3+...+n.
A questão cometeu o erro de não especificar que k tem que ser inteiro e positivo, pois para inteiros negativos ou números fracionários isso não é mais verdade.
Devemos provar que sempre existe um numero (w) que multiplicado por 1+2+3+...+n resulte em 1^k+2^k+3^k...+n^k, já que o resto da divisão é zero.
Sendo k um numero impar podemos escreve-lo na forma k=2x+1, sendo x um numero natural qualquer.
Por indução se o resultado valer para x=0 e para x=1 valera para todo k tal que k seja impar.
Para x=0 é automático que o valor w é igual a 1.
Para x=1, temos que provar que existe um valor que multiplicado por uma soma de termos, resulte na soma de seus cubos.
Porem sabemos que:
\\\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\wedge \sum_{k=1}^{n}k^3=\left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^2
Substituindo esses valores:
\left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^2=w\times\frac{n(n+1)}{2} \rightarrow w=\frac{n(n+1)}{2}
Logo para outros valores de x o resultado se mantem.
Link:https://drive.google.com/file/d/1NN6EcFNDuHvLlst-Gy9GIlIj2AvlebfE/view
O John Carter enviou aqui no fórum alguns simulados do IME/ITA e algumas listas, um dos simulados de matemática não tem gabarito então achei uma boa solucionar ele.
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Vou abrir fazendo a questão 1:
Prove que a soma
em que n é um inteiro qualquer e k é impar, é divisível por 1+2+3+...+n.
A questão cometeu o erro de não especificar que k tem que ser inteiro e positivo, pois para inteiros negativos ou números fracionários isso não é mais verdade.
Devemos provar que sempre existe um numero (w) que multiplicado por 1+2+3+...+n resulte em 1^k+2^k+3^k...+n^k, já que o resto da divisão é zero.
Sendo k um numero impar podemos escreve-lo na forma k=2x+1, sendo x um numero natural qualquer.
Por indução se o resultado valer para x=0 e para x=1 valera para todo k tal que k seja impar.
Para x=0 é automático que o valor w é igual a 1.
Para x=1, temos que provar que existe um valor que multiplicado por uma soma de termos, resulte na soma de seus cubos.
Porem sabemos que:
Substituindo esses valores:
Logo para outros valores de x o resultado se mantem.
Última edição por Leo Consoli em Qui 21 Fev 2019, 17:35, editado 8 vez(es)
Leo Consoli- Fera
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Re: Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
Boa, só falta a 4, se ninguem resolver ate la, de tarde tento alguma coisa.
Leo Consoli- Fera
- Mensagens : 383
Data de inscrição : 03/08/2017
Idade : 23
Localização : Salvador, Bahia, Brasil
Re: Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
Refiz as contas e corrigi alguns erros da resolução anterior. Acredito que não haja mais erros. De qualquer forma, analisem a resolução.
Em breve eu posto algumas demonstrações.
Me perdoem pelo tamanho da imagem.
Em breve eu posto algumas demonstrações.
Me perdoem pelo tamanho da imagem.
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Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7517
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
Eu falei que eu não postaria a demonstração do volume do tronco de cone, mas eu vou postar porque essa demonstração vai me ajudar a demonstrar a fórmula do tronco de cone de segunda espécie.
Demonstração: tronco de cone de primeira espécie:
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
\\V_T=V_{ABC}-V_{APQ}\ (1)\ \wedge\ h=h''-h'\ (2)\ \therefore \ V_T=\frac{A''h''}{3}-\frac{A'h'}{3}\ (3)\\\\V_{ABC}\ \sim\ V_{APQ}\ \therefore \ \frac{A'}{A''}=\left ( \frac{h'}{h''} \right )^2\to \frac{\sqrt{A'}}{\sqrt{A''}}=\frac{h'}{h''}\to \underset{\mathrm{Propriedade\ da\ proporcao}}{\underbrace{\frac{\sqrt{A'}}{\sqrt{A''}-\sqrt{A'}}=\frac{h'}{h''-h'}}}\ (4)\\\\\mathrm{De\ }(2)\ \mathrm{e}\ (4):\ h'=\frac{h\sqrt{A'}}{\sqrt{A''}-\sqrt{A'}}\ (5)\ \vee\ h''=\frac{h\sqrt{A''}}{\sqrt{A''}-\sqrt{A'}}\ (6)\\\\\mathrm{De\ }(3),(5)\ \mathrm{e}\ (6):\ V_T=\frac{hA''\sqrt{A''}}{3(\sqrt{A''}-\sqrt{A'})}-\frac{hA'\sqrt{A'}}{3(\sqrt{A''}-\sqrt{A'})}=\frac{h\left [ (A'')^\frac{2}{3}-(A')^\frac{2}{3} \right ]}{3(\sqrt{A''}-\sqrt{A'})}\\\\\therefore \ V_T=\frac{h}{3}(A''+A'+\sqrt{A''A'})\to \boxed {V_T=\frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)}
Demonstração: tronco de cone de segunda espécie:
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
\\V_T=V_{ABC}+V_{APQ}\ \wedge\ h=h''+h'\\\\\mathrm{Semelhantemente\ as\ eq.\ }(5)\ \mathrm{e}\ (6):\\\\V_T=\frac{hA''\sqrt{A''}}{3(\sqrt{A''}+\sqrt{A'})}-\frac{hA'\sqrt{A''}}{3(\sqrt{A''}+\sqrt{A'})}=\frac{h\left [ (A'')^\frac{2}{3}+(A')^\frac{2}{3} \right ]}{3(\sqrt{A''}+\sqrt{A'})}\\\\\therefore \ V_T=\frac{h}{3}(A''+A'-\sqrt{A''A'})\to \boxed {V_T=\frac{\pi h}{3}(R^2+r^2-Rr)}
Explicação da semelhança entre os triângulos indicados na resolução: notem que ∠BAC=90°. Desse modo, sabendo que ∠AQB=90°, que ∠BAQ=θ e que a soma dos ângulos internos de um triangulo equivale a 180°, logo, o ângulo ∠ABQ só pode ser igual a μ. A mesma ideia vale para o ângulo ∠ACM.
Demonstração: tronco de cone de primeira espécie:
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Demonstração: tronco de cone de segunda espécie:
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Explicação da semelhança entre os triângulos indicados na resolução: notem que ∠BAC=90°. Desse modo, sabendo que ∠AQB=90°, que ∠BAQ=θ e que a soma dos ângulos internos de um triangulo equivale a 180°, logo, o ângulo ∠ABQ só pode ser igual a μ. A mesma ideia vale para o ângulo ∠ACM.
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Giovana Martins- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
A questão 4, aparentemente, está difícil.
Eu sei que não é muito, mas deixo uma figura com algumas conclusões para quem quiser tentar fazer.
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Eu chamei um dos ângulos de beta para ver se eu encontrava alguma coisa por soma de arcos.
Eu sei que não é muito, mas deixo uma figura com algumas conclusões para quem quiser tentar fazer.
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Eu chamei um dos ângulos de beta para ver se eu encontrava alguma coisa por soma de arcos.
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Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7517
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
Giovana, montei uma imagem um pouco diferente, vai que ajuda, o que se percebe é que todos os triângulos sao retangulos e semelhantes entre si, mais nao consigo ver a saida ainda.
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Leo Consoli- Fera
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Data de inscrição : 03/08/2017
Idade : 23
Localização : Salvador, Bahia, Brasil
Re: Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
Vou tentar fazer alguma coisa a partir da sua imagem. Vamos ver se sai alguma coisa .
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Giovana Martins- Grande Mestre
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Idade : 23
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Re: Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
Uma resolução alternativa para a questão 7.
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Fonte: eu tirei esta resolução do livro Course in Mathematics for ITT-JEE 2012.
A propósito, ninguém sabe resolver a questão 4?
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Fonte: eu tirei esta resolução do livro Course in Mathematics for ITT-JEE 2012.
A propósito, ninguém sabe resolver a questão 4?
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Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7517
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
alguém confere ai fazendo favor haha
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Matheus Tsilva- Fera
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Idade : 25
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Re: Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
Acredito que você aplicou errado o T. de menelaus no triângulo OPK. O correto seria: [a/(a-b)]*[(a-b)/(tgα*BK)]*[BK*senα/acosα] = 1. Disso, "conclui-se" que 1=1. Isso aconteceu pq você aplicou duas vezes o teorema no mesmo triângulo, acabou fazendo a msm conta.Matheus Tsilva escreveu:alguém confere ai fazendo favor haha
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Vitor Ahcor- Monitor
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Idade : 23
Localização : São José dos Campos
Re: Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.
Uma outra possível solução para a questão indiana:
Se | z³ + 1/z³ | ≤ 2 → z³ = cisθ. Notemos:
| cisθ + 1/cisθ | = | cisθ + cis-θ | = 2|cosθ| ≤ 2
Logo, | z + 1/z | = | cisθ/3 + cis-θ/3 | = 2|cosθ/3| ≤ 2.
Se | z³ + 1/z³ | ≤ 2 → z³ = cisθ. Notemos:
| cisθ + 1/cisθ | = | cisθ + cis-θ | = 2|cosθ| ≤ 2
Logo, | z + 1/z | = | cisθ/3 + cis-θ/3 | = 2|cosθ/3| ≤ 2.
Última edição por vitorrochap2013 em Seg 15 Jul 2019, 21:34, editado 1 vez(es)
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Vitor Ahcor- Monitor
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