(ITA) número complexo

por killua05 Qui 14 Jul 2011, 16:08

(ITA 1999) O conjunto de todos os números complexos z, z≠0, que satisfazem à igualdade | z + 1 + i | = | |z| - |1+i| | é:

a) {z∈C: arg z = (5π)/4 + 2kπ, k∈Z}
b) {z∈C: arg z = π/4 + 2kπ, k∈Z}
c) {z∈C: |z|=1 e arg z = π/6 + kπ, k∈Z}
d) {z∈C: |z|=√2 e arg z = π/4 + 2kπ, k∈Z}
e) {z∈C: arg z = π/4 + kπ, k∈Z}

por **Elcioschin** Qui 14 Jul 2011, 19:07

Vou começar:

| z + 1 + i | = | |z| - |1+i| | ----> z = a + bi ---> |z| = \/(a² + b²)

|1 + i| = \/(1² + 1²) = \/2

| (a + bi) + 1 + i | = |\/(a² + b²) - \/2|

| (a + 1) + (b + 1)i | = |\/(a² + b²) - \/2|

\/[(a + 1)² + (b + 1)²] = |\/(a² + b²) - \/2| ---> Elevando ao quadrado:

(a + 1)² + (b + 1)² = (a² + b²) - 2*\/2*\/[(a² + b²)] + 2

a² + b² + 2a + 2b + 2 = (a² + b²) - 2*\/(2a² + 2b²) + 2

a + b = - \/(2a² + 2b²) ----> Elevando ao quadrado

a² + 2ab + b² = 2a² + 2b²

a² - 2ab + b² = 0 ----> (a - b) = 0 ----> a = b

por killua05 Sex 15 Jul 2011, 16:05

obrigado pela ajuda Elcioschin;

a + b = - \/(2a² + 2b²) >>> a+b<0 e a=b logo a<0 está certo?

|z| = a\/2 ; senθ=-\/2/2 ; cosθ=-\/2/2 logo arg z=(5π)/4 + 2kπ