Relações métricas no triângulo retângulo

por Fernando1012 Dom 20 Jan 2019, 12:46

É dado um triângulo retângulo onde a altura relativa à hipotenusa mede 24 cm. Sabendo que a soma das medidas dos dois catetos vale 70 cm, determine as medidas dos lados desse triângulo.

Alguém poderia explicar com conhecimento dos ensino fundamental como se chega na resposta?

Resposta do livro: 50 cm, 40 cm e 30 cm.

por **Leo Consoli** Dom 20 Jan 2019, 13:38

A altura relativa a hipotenusa é a que vai do vértice oposto ate a hipotenusa, chame os 2 lados conhecidos de b e de c e a hipotenusa de a, usando pita goras: a^2=b^2+c^2 ---> a^2=(b+c)^2 - 2bc ---> a^2=4900 - 2bc
Pelas relações métricas sabemos que o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela sua altura relativa, logo bc=24a
a^2=4900-48a
Usando bhaskara, a=50 ou a=-98, que não serve, com isso ai ache c e b e some tudo.

por **Elcioschin** Dom 20 Jan 2019, 13:48

h = 70 ---> b + c = 70 ---> I
a = ?, b = ?, c = ?

b + c = 70 ---> (b + c)² = 70² ---> b² + c² + 2.b.c = 4900 ---> a² + 2.b.c - 4900 = 0 ---> II

h.a = b.c ---> 24.a = b.c --- *2 ---> 48.a = 2.b.c ---> III

III em II ---> a² + 48.a - 4900 = 0 ---> Resolvendo --> a = 50

II ---> 24.50 = b.c ---> b.c = 1200

Com I e II, calcule b, c