Numeros Primos

A soma dos algarismos do menor primo p tal que p^3 + 2p^2 + p possui exatamente 42 divisores positivos é :



a)2
b)4
c)5
d)8
e)10

Olá amigo, vc tem gab ?

Eu fatorei p.(p + 1)², mas minha dificuldade está em achar o número de divisores.

Eu sei que para achar geralmente é assim:

12 = 3.2² ----> (1 + 1)(2 + 1) = 2.3 = 6 divisores

Mas nesse caso não estou conseguindo visualizar a resolução. Você tentou resolver como ?

N = p³ + 2p² + p ----> N = p*(p² + 2p +1) ----> N = p*(p + 1)²

p é primo (e ímpar) ----> (p + 1) é par (e composto)

N = (p^1)*[(2^m)*(3^n)]² ----> N = (p^1)*(2^2m)*(3^2n)

m > n para se ter o menor valor possível para N

Total de divisores: (1 + 1)*(2m + 1)*(2n + 1) = 42 ----> (2m + 1)*(2n + 1) = 21 ---->

(2m + 1)*(2n + 1) = 7*3 ---> m = 3 ----> n = 1

N = p*(2^6)*(3^2) ----> N = p*(24)² ---> p + 1 = 24 ---> p = 23

2 + 3 = 5

Élcio,
Poderia me explicar essa linha ?

N = (p^1)*[(2^m)*(3^n)]² ----> N = (p^1)*(2^2m)*(3^2n)

Por que esse 2 e 3 ?

Luis

N = p*(p + 1)² ----> p é primo (maior do que 2), logo p é ímpar

Sendo p ímpar, (p + 1) é par, logo (p + 1) é composto par ---> 2 é fator primo de (p + 1)

Se considerássemos apenas este fator primo, teríamos: p + 1 = 2^m

N = p*(p + 1)² ----> N = p*(2^m)² ----> N = (p^1)*(2^2m)

O total de divisores seria dado por: d(N) = (1 + 1)*(2m + 1) = 42 ----> m = 10

Neste caso ----> p + 1 = 2^10 = 1024 ----> p = 1023

Note que 1023 é divisivel por 3 ---> Neste caso p NÃO é primo, não serve

Assim, o número N deve ter outro fator primo além do 2. O número primo seguinte é 3

Assim, incluí o fator primo 3 no cálculo de N:

p + 1 = (2^m)*(3^n) ----> N = p*(p + 1)² ----> N = (p¹)*[(2^m)*(3^n)]² ---->

N = (p¹)*(2^2m)*(3^2n) ---> Com isto obtivemos o menor primo p = 23

Conferindo ---> N = 23*(24)² ---> N = (23¹)*(2³*3¹)² ---> N = (23¹)*(2^6)*(3²)

Total d divisores de N = (1 + 1)*(6 + 1)*(2 + 1) = 42

Obrigado Élcio, mt bom. Entendi