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Área da figura com log (UESB 2010.2)

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Resolvido Área da figura com log (UESB 2010.2)

Mensagem por Raquel Valadão Sáb 15 Dez 2018, 17:18

Área da figura com log (UESB 2010.2) 20181211

Gab: 05
Comecei a procurar os pontos restantes pra usar na fórmula da área, mas não cheguei no resultado. Não sei  de que forma deixar o log dos pontos necessários na fórmula da área do trapézio (em fração, exponencial ou log msm)


Última edição por raquelvaladao em Sáb 15 Dez 2018, 18:47, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Área da figura com log (UESB 2010.2)

Mensagem por Elcioschin Sáb 15 Dez 2018, 18:10

y = logx

NM = log3(9/2) = log39 - log32 = 2 - log32

PQ = log3(18) = log39 + log32 = 2 + log32

MQ = 18- 9/2 ---> MQ = 27/2

S = (NM + PQ).MQ/2 ---> S = (2 - log32 + 2 + log32).(27/2)/2 ---> S = 27
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Resolvido Re: Área da figura com log (UESB 2010.2)

Mensagem por Giovana Martins Sáb 15 Dez 2018, 18:51

Essa questão é bastante interessante quando você sabe um pouquinho de integrais. Dentre as inúmeras aplicações das integrais, uma delas é direcionada ao cálculo de áreas. A área abaixo de uma curva ou área entre diferentes curvas pode ser dada por uma integral. Para que fosse possível resolver esta questão utilizando conceitos do ensino médio, reduziu-se (aproximou-se) a área abaixo da curva y=log3(x) à área de um trapézio. Note que o trecho PQ não é um trecho retilíneo, logo, a área que queremos calcular não é necessariamente um trapézio, mas sim a área representada abaixo.

Área da figura com log (UESB 2010.2) Oie_tr44

Resolvendo esta questão por integral, teríamos a seguinte resolução:

A=\int_{x_M}^{x_Q}[log_3(x)]dx

Utilizando a técnica de integração por partes:

\\u=log_3(x)\ \wedge\ dv=dx\\\\\therefore \ du=\frac{1}{xln(3)}dx\ \wedge\ v=x\\\\\int udv=uv-\int vdu\to \\\\\int_{\frac{9}{2}}^{18}[log_3(x)]dx=\left [xlog_3(x)  \right ]_{\frac{9}{2}}^{18}-\int_{\frac{9}{2}}^{18} \frac{1}{ln(3)}dx\\\\\int_{\frac{9}{2}}^{18}[log_3(x)]dx=18log_3(18)-\frac{18}{ln(3)}-\frac{18ln(3)-9ln(2)-9}{2ln(3)}\\\\\therefore \ \int_{\frac{9}{2}}^{18}[log_3(x)]dx\approx28,91\ \therefore \ \boxed {A\approx28,91\ u.a.}

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Resolvido Re: Área da figura com log (UESB 2010.2)

Mensagem por Elcioschin Dom 16 Dez 2018, 11:20

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O enunciado não pede a área sob a curva: ele pede a área do trapézio MNPQ.
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Resolvido Re: Área da figura com log (UESB 2010.2)

Mensagem por Giovana Martins Seg 17 Dez 2018, 10:51

Li uma coisa, interpretei outra hahaha

Imaginemos então que o enunciado pedisse para nós reduzirmos a área abaixo da curva a um trapézio. A área aproximada (27 u.a.) seria "próxima" da área real (aproximadamente 28,91 u.a.) que foi obtida a partir do cálculo da integral.

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