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Integral Gaussiana

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Mensagem por Dirac Sea Qui 29 Nov 2018, 15:48

Espero que não esteja repetido no fórum. Acho a demonstração muito elegante.

Definimos uma integral gaussiana como algo do tipo:

I(a,b,c) = \int_{-\infty}^\infty e^{ax^2+bx+c} dx

Primeiro completamos o quadrado:

I(a,b,c) = \int_{-\infty}^\infty e^{a \left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right) } dx = \int_{-\infty}^\infty e^{a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} } dx = e^{c - \frac{b^2}{4a}} \int_{-\infty}^\infty e^{a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2} dx

Agora mudamos de variável tal que u = x+b/(2a) e então du = dx . Assim,

I(a,b,c) = e^{c - \frac{b^2}{4a}} \int_{-\infty}^\infty e^{a u^2} du

Agora temos que resolver a integral

I_2(a) = \int_{-\infty}^\infty e^{a u^2} du

Fazemos o quadrado da integral


I_2(a)^2 = \left[ \int_{-\infty}^\infty e^{a u^2} du \right] \left[  \int_{-\infty}^\infty e^{a v^2} dv \right] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{a \left( u^2 + v^2 \right) } du dv

E agora mudamos de variáveis para coordenadas polares com u^2 + v^2 = r^2 e assim du dv = r dr d\theta . Assim,

I_2(a)^2 = \int_0^{2 \pi} \int_0^\infty r e^{a r^2 } dr d\theta = 2 \pi \int_0^\infty r e^{a r^2 } dr

Mudamos outra vez de variáveis tal que - s = a r^2 e assim - ds = 2 a r \, dr . Então,

I_2(a)^2 = -  \frac{\pi}{a} \int_{- \infty}^0 e^{- s } ds = -  \frac{\pi}{a}

Assim,

I_2(a) = \sqrt{ -  \frac{\pi}{a} }

O que significa que

I(a,b,c) = e^{c - \frac{b^2}{4a}} \, I_2(a) = \sqrt{ -  \frac{\pi}{a} } \, e^{c - \frac{b^2}{4a}}

O que é válido, claro, para a < 0 . QED

Dirac Sea
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