Matemática Financeira- Enem 2017

Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P.

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:



Gab.: A

Eu encontrei essa resolução do cursinho Elite:



Mas não entendi o motivo deles usarem P=P7.(1 + i/100)
Pensei que o correto fosse P7=P(1 + i/100), já que a parcela de P7 corresponde ao valor da parcela P6 acrescida do juros mensal de i/100
Por que não é dessa forma??
Para mim, não faz sentido ser do jeito dessa resolução....
No final, eu encontrei P6 + P7 + P8= P[ 1 + (1 + i/100) + (1 + i/100)² ]
Mesmo não tendo alternativa, não entendi meu erro...

Alguém, por gentileza?

Eu não sei nem como iniciar essa questão.. alguém pode realizá-la passo a passo, colocando até as fórmulas mais básicas, por favor 

Vocês já viram a resolução em vídeo do Caju para essa questão? Normalmente as resoluções dele são muito didáticas e detalhadas.

Basta colocar no youtube "Resolução enem 2017 Caju", é o primeiro vídeo da playlist.

Grande Prof. Caju!!
Gostei bastante, bem didático. Recomendo também!

DÚVIDA GRANDE:


A minha dúvida é na hora que ele dá um exemplo de linha do tempo de 3 parcelas. Ele diz que para trazer a parcela para o presente você faz a divisão, e para levar para o futuro você multiplica. 
Ele faz assim:   1ª parcela no futuro = 1ª parcela (100) . (1 + i)^2 (2 = tempo à frente)

Essa fórmula é muito semelhante à M = C.(1+i)^t

eu queria saber qual a relação, tipo de onde ele tirou essa ideia de que "ah é só fazer isso"

Além disso, sobre o juros composto:
o montante é a soma de todas as parcelas + o juros que você teve que pagar né?
então, como eu vou saber quanto desse juros tem em cada parcela? a primeira parcela já possui juros ou não?
está certo esse raciocínio: (?)
P1 = x (não tem juros nenhum)
P2 = x + i.x = P1 + i.P1
P3 = x + i.(x+i.x) = P1 + i.P2

Ele já paga juros desde a primeira parcela. as parcelas tem mesmo valor porque diferem em valor de amortação e o juros. Para saber mais sobre essa parte final, pesquisa ''tabela  price''

E ele não tirou a fórmula do nada. Ele respondeu ao comentário ''PROFESSOR VOCÊ É INCRÍVEL! Agora que notei que sempre que vamos calcular o montante com juros composto o valor está envolvido com o futuro. Logo, usa-se o C(1+ i). Como queremos fazer o inverso disso nessa questão, ou seja, trazer o money do futuro para o presente usamos o C/ (1+i). Não sei se a minha lógica tá certa mas de qualquer forma sua resolução abriu muuito a minha mente!'' da seguinte forma: ''Perfeito, Letícia! Você teve uma epifania!!! Parabéns :blush: É muito legal quando as informações que temos tudo jogado na cabeça, uma hora se encaixam. Eu adoro :wink:
Fico muito feliz em saber que eu lhe ajudei no ápice dessa sua epifania :hugging: Tmj. Grande abraço"

Mateus Meireles escreveu:Vocês já viram a resolução em vídeo do Caju para essa questão? Normalmente as resoluções dele são muito didáticas e detalhadas.

Basta colocar no youtube "Resolução enem 2017 Caju", é o primeiro vídeo da playlist.

Oi! Não entendi a relação do tempo com as parcelas... marquei a E pq entendi a 6º parcela com tempo t=1, mas a questão a considerou como t=0. Alguém consegue me explicar o porquê?

Liliana Rodrigues escreveu:Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P.

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:



Gab.: A

Eu encontrei essa resolução do cursinho Elite:



Mas não entendi o motivo deles usarem P=P7.(1 + i/100)
Pensei que o correto fosse P7=P(1 + i/100), já que a parcela de P7 corresponde ao valor da parcela P6 acrescida do juros mensal de i/100
Por que não é dessa forma??
Para mim, não faz sentido ser do jeito dessa resolução....
No final, eu encontrei P6 + P7 + P8= P[ 1 + (1 + i/100) + (1 + i/100)² ]
Mesmo não tendo alternativa, não entendi meu erro...

Alguém, por gentileza?

Boa tarde!

Para tentar ajudar

No texto, informa que realizou o pagamento da 5a. parcela, e, na 6a. parcela resolve quitar a dívida.
Bom, para quitar a dívida além de pagar a 6a. parcela ainda existem mais duas parcelas futuras, a 7a. e a 8a.
Portanto, no pagamento da 6a. parcela teremos que 'antecipar' o pagamento da 7a. e 8a. parcelas.
O raciocínio para entender como funciona 'adicionar' juros ou 'antecipar' o pagamento (retirando-se a parte dos juros) segue a fórmula abaixo (para o regime de juros compostos):
[latex]M=C(1+i)^n[latex]
Onde M é o montante (capital futuro), C é o valor do capital (presente), i é a taxa de juros referenciada a um período (ao mes, ao ano, etc), e n é o período coerente com o já referenciado pela taxa de juros (se a taxa de juros for ao dia, n é um período qualquer, em dias)

Repare que para 'sair' do Capital (hoje, presente) e 'chegarmos' até o valor do montante, realizamos a operação de multiplicar por [latex](1+i)^n[latex] o capital, e, assim, obtermos o montante.
Para fazer a operação inversa, portanto, sair do montante futuro e obtermos um capital na data presente, só fazer:
[latex]C=\dfrac{M}{(1+i)^n}[latex]


Esse é o raciocínio que pode ser empregado para qualquer das parcelas no problema proposto.

Então, resolvendo:
6a. parcela ==> pagamento 'hoje', sem taxa de juros para retirar
7a. parcela ==> pagamento daqui 1 período, então, teremos que 'trazer' do 7o. para o 6o. período (1 período), dividindo-se por [latex](1+i)^1[latex]
8a. parcela ==> pagamento daqui 2 períodos, então, teremos que 'trazer' do 8o. para o 6o. período (2 períodos), dividindo-se por [latex](1+i)^2[latex]
Daqui sai que o pagamento no 6o. período será:
[latex]SD_6=P_6+\dfrac{P_7}{(1+i)^1}+\dfrac{P_8}{(1+i)^2}[latex]
Sendo as parcelas as mesmas, podemos chamar todas de P, então:
[latex]SD_6=P+\dfrac{P}{(1+i)^1}+\dfrac{P}{(1+i)^2}=P\cdot\left[1+\dfrac{1}{(1+i)^1}+\dfrac{1}{(1+i)^2}\right][latex]

Espero ter ajudado!