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Primeira Prova - Colégio Naval 2004 - Matemática

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Mensagem por luiseduardo Qui 07 Jul 2011, 17:43

Olá pessoal,

A administração e a moderação criaram esse espaço para que os usuários pudessem resolver questões de concursos ou provas de vestibulares. Nossa ideia é que todos os membros pudessem participar e colaborar propondo soluções para os problemas ainda não resolvidos ou soluções criativas para as que já foram solucionadas.

Acredito que podemos começar por uma prova de matemática do Colégio Naval de 2004. O membro que resolver uma questão deve mandar uma mensagem para esse tópico (não abrir um novo) e deixar bem claro na mensagem qual questão está sendo resolvida. Sugiro que não sigam a ordem númerica das questões, mas façam as que souberem. O importante é ajudar !

Qualquer dúvida me mande um MP.


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Mensagem por luiseduardo Qui 07 Jul 2011, 18:07

Irei começar:


Questão 6

"Sabendo-se que a equação x²(x² + 13) - 6x(x² + 2) + 4 = 0 pode ser escrita como um produto de binômios do primeiro grau, a soma de duas das suas raízes reais distintas é igual a:"

** Não precisa copiar o enunciado **


x²(x² + 13) - 6x(x² + 2) + 4 = 0
x^4 - 6x³ + 13x² - 12x + 4 = 0

Fatorando, podemos perceber que:

(x² - 3x + 2)(x² - 3x + 2) = 0


Logo,

x² - 3x + 2 = 0

x' = 2
x'' = 1


x' + x'' = 3

RESPOSTA: E
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Mensagem por arimateiab Qui 07 Jul 2011, 18:08

Gostei dessa ideia :]

Questão 20)

N = 3Q +2
N = 7Q'+3
N = 41Q"+19

K = (N+1)(N+4)(N+22)/861
K = (3Q+2+1)(7Q'+3+4)(41Q"+19+22)/861
K = 3(Q+1)7(Q'+1)41(Q"+1)/861
K = 861(Q+1)(Q'+1)(Q"+1)/861
K = (Q+1)(Q'+1)(Q"+1)

Logo o resto é 0.
Alternativa (A)

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Mensagem por arimateiab Qui 07 Jul 2011, 18:18

Questão 19)

Sejam X1 o herdeiro de idade "n" e x2 o herdeiro de idade "m".

x1/n² = x2/m²
x2 = m²*x1/n²

P = x1 + x2
P = x1 + m²*x1/n²
n²P = n²*x1+m²*x1
x1 = Pn²/(n²+m²)

Alternativa (B)

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Mensagem por luiseduardo Qui 07 Jul 2011, 18:19

Questão 2

(x² - 2x + 1)² --> sempre positivo, mas pode ser zero, logo:

x² - 2x + 1 = 0

x' = 1


Como ele quer que a fração seja menor ou igual a zero, devemos ter que 12 - 4 < 0 (não pode ser igual, pois assim seria indeterminado)


12x - 4 < 0

x < 1/3


Logo, a resposta será: {x < 1/3} U {1}

D
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Mensagem por arimateiab Qui 07 Jul 2011, 18:28

Questão 12

S -> aréa

S = a*a + a*b + a*b + b*b
S = a² + 2ab + b²
S = (a+b)²

Alternativa (C)

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Mensagem por luiseduardo Qui 07 Jul 2011, 18:40

Questão 8

49 + 20*sqrt(6) =~ 98


Fatorando 98: 7².2


Assim: 98^1/4 = 2^1/4 . 7^1/2

2^1/4 =~ 1,19
7^1/2 =~ 2,64


Multiplicando os dois, acharemos 3,1416.

Logo, resposta: C



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Mensagem por Pablo Simões Qui 07 Jul 2011, 18:41

Questão 6 - (Uma solução diferente)

x²(x²+13)-6x(x²+2)+4=0 = [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

Como a soma dos coeficiente é igual a zero, logo a equação é divisível por x-1. E uma de suas raízes é igual a 1.

Dividindo por x-1. Pelo algoritmo de Briot-Ruffini.
[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

O quociente é: x³-5x²+8x-4=0. Esta equação também tem a sua soma dos coeficientes igual a 0, logo também é divisível por x-1.

Dividindo por x-1...
[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]
O quociente é: x²-4x+4. Resolvendo esta equação, temos:
[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]= 4²-4.4.1
[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]= 0
Logo a raiz de x²-4x+4 é 2.

Como sabiamos que uma das raízes do Polinômio é 1, somando x'+x'':
2+1 = 3

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Mensagem por luiseduardo Qui 07 Jul 2011, 18:46

Questão 6 - Uma terceira maneira ...

Pelo teorema das raízes racionais podemos fazer que:

p = {+-1,+-2,+-4}
q = {+-1}

p/q = {+-1,+-2,+-4}

Testando, podemos perceber que 1 e 2 serão as raízes da equação, logo: 2 + 1 = 3
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Mensagem por luiseduardo Qui 07 Jul 2011, 18:52

Questão 17

É muito simples, basta desenhar a figura e poderá ver que a distância x do ponto P ao vértice será o raio da circunferência, então, é só aplicar pitágoras:


x² = k² + l²

x = sqrt(k² + l²)

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