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Progressão Aritmética

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Progressão Aritmética Empty Progressão Aritmética

Mensagem por saulvictor1 Qua 10 Out 2018, 21:04

Boa noite, alguém poderia me ajudar na seguinte questão:
   
 Progressão Aritmética Captur12

Obs: Eu fiz a letra A, entretanto não estou conseguindo a letra B. O gabarito da B é: f(x) = 2x² + 2x + 1, x ∈ IN* Domínio: D = IN* 
Conjunto imagem: Im = {5, 13, 25, …, 2x2 + 2x + 1, …}, x ∈ IN*

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Progressão Aritmética Empty Re: Progressão Aritmética

Mensagem por evandronunes Seg 15 Out 2018, 16:21

a) Observe a linha horizontal central de cada figura. Na figura 1 temos 3 quadrados, na figura 2 são 5 e na figura 3 vemos 7 quadrados. Logo na figura 10 teremos 2.10 + 1 = 21 quadrados na linha horizontal.

Assim, considerando da linha horizontal central para cima, temos uma PA de 1 a 21, com razão 2. Para encontrar o número de termos dessa PA, utilizamos a fórmula abaixo:

a_n=a_1 + (n-1).r

21=1 + (n-1).2

20= 2n-2

22= 2n

n=11

Agora, encontra-se a soma dos n = 11 termos dessa PA:

S=\frac{n.(a_1+a_n)}{2}

S=\frac{11.(1+21)}{2}=121

Para encontrarmos o total de quadrados da figura 10 devemos acrescentar a parte de baixo da figura, veja que basta retirar da soma anterior o número de quadrados da linha central, logo 121 + 121 - 21 = 221 quadrados.

b) Seguiremos a mesma linha de raciocínio do item anterior. Seja a figura x, logo o número de quadrados da linha central será 2x + 1. Assim, temos uma PA de 1 a 2x + 1 e razão 2.

Para encontrar o número de termos dessa PA fazemos:

a_n=a_1 + (n-1).r

2x + 1 = 1 + (n-1).2

2x= 2n-2

2x+2= 2n

n=x+1

Encontramos a soma dos n = x + 1 termos dessa PA:

S=\frac{n.(a_1+a_n)}{2}

S=\frac{(x+1).(1+2x+1)}{2}=(x+1).(x+1)

S=x^2+2x+1

Portanto, o número total de quadrados da figura x será dado por:

f(x)=x^2+2x+1+x^2+2x+1-(2x+1)

f(x)=2x^2+2x+1

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