matriz (ufrj) - difícil

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Resolvido matriz (ufrj) - difícil

Mensagem por JohnnyC em Sab 15 Set 2018, 19:43

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Seja a matriz A representada a seguir:



Se A^n denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do número natural x tal que: A^x² - A^5x + A^6 = I, em que I é a matriz identidade.

R:

x = 2 ou x = 3

Pessoal, essa questão é bem difícil. Alguém poderia resolver passo-a-passo, por favor ? A letra a) eu resolvi tranquilamente.

Obrigado.


Última edição por JohnnyC em Sab 15 Set 2018, 20:45, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: matriz (ufrj) - difícil

Mensagem por Elcioschin em Sab 15 Set 2018, 20:28

Não é difícil

...... 1 1
A =
...... 0 1

Calculando A² obtém-se:

...... 1 2
A² =
...... 0 1

Calculando A³, obtém-se:

...... 1 3
A3 =
...... 0 1

Logo, podemo deduzir que:

...... 1 n
An
...... 0 1

...... 1 x²
A
...... 0 1

...... 1 5.x
A5.x
...... 0 1

...... 1 6
A6
...... 0 1

Igualando com equação identidade I obtém-se: x² - 5.x + 6 = 0 ---> x = 2 ou x = 3
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Resolvido Re: matriz (ufrj) - difícil

Mensagem por JohnnyC em Sab 15 Set 2018, 20:44

perfeito, mestre!!! o senhor "mata" todas com uma resolução simples.
muito obrigado
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Resolvido Re: matriz (ufrj) - difícil

Mensagem por Elcioschin em Sab 15 Set 2018, 22:26

Usei para resolver:

1) Multiplicação de matrizes: A² = A*A, A³ = A².A
2) Olho vivo: dá para descobrir a lei de formação, para An
3) Bastou fazer n = x², n = 5.x e n = 6
4) Igualdade de matrizes: básico.

Como você pode tudo é realmente, muito simples, desde que se saiba a teoria básica.
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Resolvido Re: matriz (ufrj) - difícil

Mensagem por JohnnyC em Sab 15 Set 2018, 22:32

realmente, mestre.
a questão foi totalmente no olho mesmo, porque a letra a) era fácil, o problema foi eu não ter me atentado às matrizes anteriores (A^1, A² e A³) e perceber que elas tinhas em comum todos os termos, com exceção do a12, que era justamente o valor de n pra cada tipo de matriz.
mas é isso, vivendo e aprendendo!!! Very Happy
obrigado novamente, Mestre.
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Resolvido Re: matriz (ufrj) - difícil

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