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Referenciais em Mecânica

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Mensagem por PedroX Dom 02 Set 2018, 01:23

Publicado originalmente pelo Euclides numa página extra. As imagens que estavam perdidas foram na maioria restauradas; as que não puderam ser recuperadas foram trocadas. Mudanças desprezíveis foram feitas no texto original.

Este artigo é direcionado aos estudantes de nível médio que já conheceram os trabalhos de Galileu Galilei e a Mecânica de Newton.

A ideia do referencial

A percepção do movimento vem intimamente relacionada a mudanças de posição e um transcurso de tempo. Sem mudanças de posição ou transcurso de tempo não haveria movimento e, embora isso possa parecer bastante óbvio para a maioria das pessoas, o estabelecimento de posições e a própria ideia de tempo são coisas bastante sofisticadas para requerer atenção muito especial de qualquer um que pretenda interpretar os fenômenos físicos.

A escolha de referenciais confiáveis produziu as diferentes mecânicas de Ptolomeu, Copérnico, Galileu e Newton ou Einstein. Na verdade, o referencial é o princípio obrigatório de todo e qualquer modêlo de interpretação do Universo que possa ter algum sucesso.

Os bons alunos de cinemática cedo percebem que a escolha do referencial correto é, muitas vezes, a diferença entre acertar ou errar um exercício.

Como regra geral consideram-se "bons" todos os referenciais em que as leis físicas são covariantes, isto é, possuem a mesma forma. Para a mecânica de Galileu/Newton esses são os referenciais inerciais.

Vale dizer que as ideias de Newton possuem uma maravilhosa e notável solidez nos domínios em que se aplica (o das velocidade muito menores que a da luz) e produz resultados de uma tão rigorosa precisão que as fórmulas de Lorentz/Einstein quando aplicadas a essas velocidades reduzem-se às equações de Newton.

A medida da precessão do periélio de Mercúrio é considerada uma das mais irrefutáveis provas da validade da relatividade geral. O planeta mercúrio possui uma órbita que tem a maior excentricidade entre as órbitas dos planetas do sistema solar. Isso quer dizer que possui a órbita mais elíptica do sistema.

Sob a influência das gravidades do Sol e dos demais planetas o seu periélio (ponto mais próximo do Sol) não permanece no mesmo lugar, mas apresenta um avanço.

O cálculo dessa precessão feito com a mecânica de Newton apresenta uma discrepância (em relação ao observado) de 43" de arco em 100 anos, ou de 0,43" de arco por ano!!! O fator de correção introduzido pela relatividade geral somado às equações de Newton corrige, quase exatamente, esse valor (0,429).

Ao mesmo tempo em que valida a TRG, isso mostra a pujança e a solidez da mecânica de Newton.

O referencial aristotélico de Ptolomeu

Aristóteles, o filósofo grego que viveu entre 384a.C. e 322a.C, foi discípulo de Platão e preceptor de Alexandre, o Grande. Aristóles foi matemático, fisico, geômetra, naturalista e escreveu tratados sobre poesia e drama.

Aristóteles participava das ideias cosmológicas de seu mestre e considerava a esfera celeste como uma estrutura rígida na qual estavam fixadas as estrelas, tendo ao centro a Terra, imóvel, ao redor da qual tudo o mais orbitava.

Essa era a cosmologia difundida na antiguidade. Nesse modelo a Terra era o referencial por excelência, a partir do qual eram interpretados os movimentos.

Ptolomeu foi um sábio grego que viveu por volta do primeiro século da era cristã e trabalhou em Alexandria onde desenvolveu trabalhos em geografia, cartografia, astronomia, matemática, ótica e teoria musical.

"A sua obra mais conhecida é o Almagesto (que significa "O grande tratado"), um tratado de astronomia. Esta obra, a síntese dos trabalhos e observações de Aristóteles, Hiparco, Posidônio e outros, é uma das mais importantes e influentes da Antiguidade Clássica, são treze volumes com tabelas de observações de estrelas e planetas e com um grande modelo geométrico do sistema solar, baseado na cosmologia aristotélica. Nela está descrito todo o conhecimento astronómico babilónico e grego e nela se basearam as astronomias árabes, indianas e europeias até o aparecimento da teoria heliocêntrica de Copérnico. No Almagesto, Ptolomeu apresenta um sistema cosmológico geocêntrico, isto é a Terra está no centro do Universo e os outros corpos celestes, planetas e estrelas, descrevem órbitas ao seu redor. Estas órbitas eram relativamente complicadas resultando de um sistema de epiciclos, ou seja círculos com centro em outros círculos." (wikipédia)

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O movimento dos planetas visto da Terra apresenta-se complicado, exibindo avanços e recuos e realizando voltas chamadas epiciclos.

Após o advento da era cristã a influência de Aristóteles permaneceu muito grande e o geocentrismo foi visto pela igreja romana como de acordo com a teologia que colocava o Homem como ápice e centro da criação divina.

Cumpre dizer que o modelo de Ptolomeu, fruto de observações e medidas astronômicas feitas a olho nú, explicava e previa satisfatoriamente o movimento dos corpos celestes.

Surge um novo referencial

Por volta de 1537 d.C., Nicolau Copérnico, nascido na região onde hoje é a Polônia, reviu o referencial geocêntrico, mostrando que se admitido que o Sol fosse o centro do sistema solar os movimentos dos planetas seriam explicados por órbitas circulares muito mais simples. Seu livro De revolutionibus orbium coelestium ("Da revolução de esferas celestes") foi publicado em 1543, ano de sua morte.

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O modelo heliocêntrico

Apesar de muito difundido, seu livro não causou grande impacto na época. Em 1599 o astrônomo dinamarquês Tycho Bhrae muda-se para Praga e Johannes Kepler passa a trabalhar como seu assistente. Vivia-se então o período do Renascimento que revolucionou o pensamento medieval.

As observações muito precisas de Tycho a um só tempo confirmaram as hipóteses heliocentristas de Copérnico e corrigiram seus erros. Mais tarde, após sua morte, Kepler trabalhando com seus registros elabora suas tres leis que constituem situações "ad reductio" da gravitação de Newton assim como é esta em relação à TRG de Einstein.

Essa grande transição que revolucionou a astronomia e a física é resultado, exclusivamente, da escolha de referenciais. Desta vez, como em muitas outras circunstâncias da história da física, o modêlo mais simples é que se acaba por provar mais consistente com a realidade.

Com Tycho Bhrae, Kepler, Galileu e Newton, gradativamente a matemática se estabelece como ferramenta indispensável, capaz de modelar e descrever qualitativa e quantitativamente os fenômenos e efetuar previsões capazes de orientar observações experimentais que podem confirmar ou derrubar o modelo. Hoje é impensável estudar física sem uma sólida base matemática.

Por que o referencial é tão importante em física?

As diferenças descritivas do movimento dos corpos celestes entre a interpretação sistematizada por Ptolomeu e a mecânica celeste de Copérnico já mostram claramente essa importância. Um dos pontos mais bem estabelecidos pelos cientistas é que as leis físicas devem ser sempre as mesmas, não importando o lugar ou tempo, ou o ponto de vista do observador. Já mencionamos isso anteriormente de uma maneira mais extensa quando falamos que espera-se que as leis físicas sejam covariantes, ou, além de serem as mesmas, com mesmos resultados finais, devem possuir a mesma forma.

Galileu e Newton já sabiam que há uma classe de referenciais que criam situações "misteriosas". Esses são os referenciais em rotação.

A pedra da funda

A funda é uma das mais antigas armas de caça, usada também em guerras, de que se tem notícia. Uma das passagens da Bíblia conta como o pastor Davi acertou com sua funda o gigante filisteu Golias, vencendo-o. É constituída de uma tira fina de couro ou corda fina em cujo meio há um pequeno retângulo de couro onde pode-se prender uma pequena pedra. Com as duas pontas seguras na mão faz-se a pedra girar e, quando alcança a velocidade desejada, uma das pontas é solta liberando a pedra que então sai em movimento retilíneo de trajetória tangente à curva que descrevia no ponto de soltura.

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Imaginemos que um desses caçadores decidisse girar a funda num plano vertical sobre sua cabeça. Imaginemos também que pudessemos reduzir nosso tamanho o bastante para nos localizarmos sobre a pedra que seria, então, o nosso referencial. A situação é a mesma que experimenta um garoto que brinca no gira-gira.

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Quando a funda começasse a girar sentiríamos imediatamente uma força que parece nos compelir radialmente para fora da pedra. Olhamos para o cordão que prende a pedra e o veríamos em repouso em relação a nós, estirado em linha reta. Olhamos para fora e vemos o mundo todo girando velozmente à nossa volta e nos sentiríamos muito inclinados a concluir que quando o mundo começa a girar faz sobre nós uma força centrífuga.

No entanto, se nos deslocássemos agarrados ao cordão em direção ao ponto onde ele termina (centro de rotação do mundo) notariamos que a força centrípeta vai sendo reduzida até que ao final não mais a sentiremos. O mundo, entretanto, continua girando do mesmo jeito.

Desejando melhorar nosso modelo, diríamos que o mundo, ao girar, faz uma força centrífuga sobre os corpos em repouso que cresce na razão direta da nossa posição em relação ao centro de giro do mundo e somente poderíamos atribuir a existência da força a essa única causa. Nenhuma outra poderia ser identificada.

O importante a ressaltar é que poderíamos fazer pequenos experimentos largando pequenos fragmentos da pedra em diferentes posições ao longo do cordão e, usando um dinamômetro, poderíamos calcular a intensidade dessa força que teria a forma Referenciais em Mecânica 300

em que x é a distância ao centro de giro do mundo e k um valor que depende da velocidade angular de rotação do mundo, sendo kx uma aceleração, obedecendo a lei de Newton. Na verdade descobriríamos que k é igual ao quadrado da velocidade angular com que o mundo rotaciona. E teríamos Referenciais em Mecânica 186

Nossa teoria justificaria com bons resultados a realidade observada. Na verdade esse é um ponto de vista com frequência revisitado por aqueles que já buscaram uma física não newtoniana. O importante é observar que a força centrífuga parece surgir apenas do ponto de vista de um observador que se situa em um referencial em rotação (para o qual todo o mundo parece girar). Veremos mais adiante que, para um observador em um referencial inercial (em repouso ou MRU), essa força não existe.

Forças de Coriolis

Sistemas em rotação quando tomados como referenciais apresentam uma boa quantidade de "estranhices" como já vimos com Ptolomeu e a pedra da funda. No final do século XVIII e início do XIX o engenheiro francês Gustave-Gaspard Coriolis descreveu as forças que hoje levam seu nome.

Na verdade tanto as forças de Coriolis quanto a centrífuga são chamadas de "pseudo-forças" pois surgem devido à sua observação em um referencial não-inercial (rotação). Não se lhes consegue identificar um agente causador, nem delas se encontra o par ação-reação, isto é, não se verifica a terceira lei de Newton.

Coriolis descreveu-a como uma força que se manifesta quando um corpo se desloca radialmente observado a partir de um sistema em rotação

O ponto vermelho representa o observador em repouso no sistema em rotação. Do seu ponto de vista a seta (mostrada como ele a vê) descreve uma curva e representa uma massa de ar que se desloca do pólo para o equador. Do nosso referencial, inercial utilizando como referência as margens (horizontal e vertical) da figura acima, veríamos uma trajetória em linha reta.

Somos habitantes de um sistema em rotação (a Terra) e alguns fenômenos, pela sua escala e duração evidenciam os efeitos de Coriolis. Isto é bem conhecido dos climatologistas. As massas de ar polar que se deslocam para o equador exibem esses efeitos

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As forças inerciais

Todo estudante que inicia o aprendizado da dinâmica, mais cedo, ou mais tarde, se depara com o problema do pêndulo colocado dentro de um ônibus que tem as janelas vedadas.

O ônibus inicialmente está parado e dentro dele um passageiro contempla um pêndulo na sua posição de repouso. Ao partir o ônibus começa a acelerar, o passageiro sente suas costas serem comprimidas contra o encosto do banco e vê o pêndulo inclinar-se para trás

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estando vedadas as janelas o passageiro não percebe o movimento do veículo e imagina que alguma força de natureza desconhecida o pressiona contra o banco e faz inclinar o pêndulo. Do ponto de vista de seu referencial acelerado, não encontrará qualquer explicação para o fenômeno.

Se, mais adiante, o ônibus entra em um movimento retilíneo e uniforme esses efeitos desaparecerão e a força desconhecida também some tão misteriosamente quanto apareceu. Esse é outro tipo de força cuja existência só pode ser percebida do ponto de vista de um referencial acelerado.

Os referenciais confiáveis

O que foi dito anteriormente revela que a escolha de um referencial (ponto de vista do observador) é etapa muito importante e fundamental para o pesquisador de um fenômeno cinemático, ou dinâmico, o que é praticamente tudo o que ocorre no Universo.

Devemos levar em conta o fato de que as leis físicas não devem mudar apenas porque desenhamos um eixo imaginário, ou escolhemos um ponto de vista. Devemos reconhecer que alguns referenciais distorcem nossa observação e verificar se existem referenciais confiáveis em que as leis da física serão, de fato, covariantes.

Se você está numa sala de sua casa, observando o movimento das coisas na rua através da janela, mesmo que não saiba, está adotando um referencial tridimensional no qual os eixos podem ser representados pelas intersecções de três planos (duas paredes e o chão).

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Será esse um bom referencial?

Se considerarmos as experiências que podemos fazer nessa sala, como fazer deslizar objetos em planos inclinados, em queda livre ou no chão, ou os movimentos de pessoas e automóveis da rua verificaremos que as leis de Newton serão todas válidas e se apresentarão na forma correta. Poderemos concluir pela boa qualidade do referencial.

Porém, se dessa sala, desejarmos observar os movimentos dos planetas chegaremos às mesmas conclusões de Ptolomeu e não às de Copérnico, o que nos levará a desacreditar de nosso referencial.

No ônibus de janelas vedadas do exemplo anterior vimos que, ao acelerar, o referencial não era bom, pois fazia surgir uma força fictícia. Mas, se em seguida, o ônibus iniciar um movimento retilíneo e uniforme tudo voltará ao normal. O pêndulo se estabilizará na vertical, objetos largados cairão na vertical e os resultados de qualquer experiência mostrarão covariância com as leis de Newton. Agora o referencial parece bom.

O que pensar de tudo isso?

(Início da parte 2)

Devemos admitir, antes de mais nada, que é uma questão muito difícil, tanto quanto importante e fundamental.

Referenciais Inerciais

Já usamos essa palavra "inercial" antes, dizendo que esses referenciais seriam bons por apresentarem covariância nas leis físicas.

Vimos também que há referenciais em que a terceira lei de Newton (ação-reação) não se verifica.

São chamados de inerciais os referenciais em que se verificam na mesma forma as tres leis de Newton. Esses são os referenciais que podemos considerar em repouso, ou em movimento retilíneo e uniforme.

Aquela sala da casa que agora há pouco nos aturdiu com as possibilidades de, em alguns casos ser um bom referencial e em outros não, possui realmente as duas características. No que tange aos movimentos observados ao seu redor, pássaros, automóveis, pessoas, corpos em queda livre ou lançamentos, a sala constitui de fato um referencial em repouso. Já em relação ao Sol e os outros planetas a sua órbita circular se faz bastante sensível.

O elevador é um exemplo sempre recorrente em física. Para sair do repouso e iniciar o movimento o elevador precisa ser acelerado. É essa aceleração que nos faz sentir um aumento da compressão entre os nossos pés e o piso quando o movimento para cima inicia, ou nos faz sentir aquele "frio na barriga", sensação semelhante à da descida num tobogã, quando inicia a descida. Um bom elevador, para manter o conforto dos usuários, faz o seu trajeto com um curto período de aceleração, entrando depois em movimento uniforme (velocidade constante) e encerrando com um curto período de desceleração.

Vamos usar um elevador com o propósito de discutir as diferenças entre os referenciais em repouso, movimento retilíneo e uniforme e os acelerados.

Um observador no interior de um elevador que sobe, ou desce em MRU, sem qualquer trepidação ou janelas, não terá como verificar se está em movimento ou não. Se deixar cair uma bola a verá cair exatamente como o faria se estivesse na rua, exatamente de acordo com a lei de Newton. Poderá ver a bola bater no piso e voltar a subir, evidenciando a lei da ação e reação e, se deixá-la em repouso no piso, poderá verificar a validade da lei da inércia. Temos aí uma bola que se comporta em relação a um observador num referencial inercial.

Se num certo momento o elevador iniciar uma queda livre e o nosso passageiro (sem saber disso) estivesse em pé sobre uma balança, a primeira percepção seria uma redução total do "peso" (entre aspas pois se trata na realidade de massa) indicado na balança, até o zero.

Se tentasse deixar novamente cair a bola, abandonando-a de uma altura qualquer, veria que ela permaneceria exatamente no lugar em que a soltou. Isso tudo acontecerá porque elevador, homem e bola agora caem todos em queda livre e suas posições relativas não serão alteradas.

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Durante a queda livre, todas as experiências realizadas num plano transversal à direção da aceleração resultariam conforme o esperado. As experiências realizadas em um plano que contenha a direção da aceleração apresentarão resultados discordantes com os esperados.

O elevador acelerado já não é mais um referencial inercial.

As conclusões a que podemos chegar são:

1) a escolha do referencial é a primeira providência a ser tomada para se tratar um fenômeno cinemático ou dinâmico.

2) os referenciais em que se verifiquem as tres leis de Newton em covariância são referenciais seguros.

3) esses últimos são os chamados referenciais inerciais e são aqueles que estejam em repouso, ou movimento retilíneo e uniforme.

Os aristotélicos, sistematizados por Ptolomeu, não se deram conta da existência de referenciais, Copérnico propôs uma solução matematicamente mais simples dos movimentos dos planetas, sem perceber que isso significava um mudança de referencial. A física moderna que começa a elaborar o método científico surge com Galileu, Kepler e Newton.

Referencial absoluto, movimento absoluto

Newton acreditava na existência de um referencial absoluto em relação ao qual todos os movimentos seriam, portanto absolutos. Chegou a essa ideia através de uma interessante proposta experimental que ficou conhecida como "o balde de Newton" e que por quase trezentos anos mereceu a reflexão de muitos físicos.

Newton propôs a seguinte experiência mental: um balde contendo água até um certo nível é pendurado por uma corda. Observado em repouso pode-se ver o nível da água formando uma superfície horizontal. Em seguida a corda que o sustenta é torcida várias vezes e depois solta, de maneira a fazer o balde entrar em rotação

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A água não entra imediatamente em rotação, mas, aos poucos vai recebendo um arraste das paredes do balde, que é transmitido ao corpo líquido. Se esperarmos o suficiente a água adquirirá a mesma velocidade angular do balde, permanecendo em repouso em relação a ele e sua superfície se apresentará com uma concavidade, acumulando-se em elevação para as paredes do balde. É fácil demonstrar que essa superfície é um parabolóide de revolução.

Newton faz as seguintes reflexões:

1) tanto um observador que está no chão, quanto um observador fixo no balde ou na água, vêem ambos, a mesma superfície côncava.

2) poderia essa concavidade estar se manifestando porque o balde gira em relação à terra? Mas a ação da terra sobre o balde é apenas a gravitacional e é a mesma em repouso ou rotação. O referencial da terra não pode, pois, ser o responsável.

3) poderia a concavidade ser consequência da rotação em relação às estrelas distantes fixas? Pode-se admitir que a distribuição das estrelas pelo espaço seja razoavelmente isotrópica (uniforme) e nesse caso as estrelas distantes constituiriam uma casca esférica envolvendo a Terra. Newton já sabia que o campo gravitacional no interior de uma casca esférica é nulo em qualquer ponto e, portanto, não haveria qualquer ligação entre as estrelas e o balde.

Newton conclui que o balde rotaciona em relação a um referencial absoluto que ele identifica como o espaço absoluto, imóvel e imutável.

A ideia de um referencial absoluto persistiu por séculos e o seu elemento mais famoso foi o "Éter", tido como uma substância tênue, imperceptível, sem massa, sem viscosidade que a tudo permeava, inclusive a massa dos corpos. A persistência do éter deveu-se principalmente ao fato do desconhecimento da natureza dual das ondas eletromagnéticas, as quais acreditava-se serem apenas ondas longitudinais como o som e necessitarem, como o som, de um meio material para se propagar. Como uma onda de luz viria do Sol se não tivesse um meio material para se propagar?

Vale notar que o éter é uma ideia muito antiga que já era admitida pelos gregos desde antes de Cristo. Aristóteles dizia que "a natureza abomina o vácuo", o que se pode compreender para alguém cuja experiência estava encerrada num mundo permeado pela atmosfera. Newton, por acreditar que a luz possuía uma natureza corpuscular, não se preocupou com o éter. A existência de um éter nunca foi provada experimentalmente e a ideia foi abandonada por se provar inútil.

Coube a Einstein, no início do século XX, estabelecer o que hoje é admitido pelos físicos. A teoria da relatividade estabeleceu que todos os movimentos são relativos e que não existe um referencial absoluto. Um movimento sempre se realiza em relação a outro. Para as observações astronômicas de longa duração, as estrelas distantes, que descrevem em relação à Terra arcos muito pequenos em intervalos longos de tempo constituem adequado referencial inercial.

Qualquer referencial que possa se apresentar como inercial nas condições de um experimento será suficientemente bom.

A Relatividade Clássica

Posto que aprendemos a definir e escolher referenciais e que todos os movimentos são relativos, vejamos em que consiste essa relatividade.

Esses conceitos foram matematicamente formulados por Galileu Galilei no início do século XVII. Galileu é considerado como o "pai da ciência moderna" pelo estabelecimento dos métodos empíricos e científicos e das bases da mecânica nas quais Newton de apoiou. O Universo parece que conspirava em favor da ciência, tendo sido contemporâneos Galileu, Kepler e Torricelli. Newton, que nasceu um ano após a morte de Galileu, teria dito: "se tão alto cheguei foi porque me apoiei nos ombros de gigantes", referindo-se a Kepler e Galileu.

O primeiro estudo sistematizado e matemático dos movimentos relativos aparece com Galileu.

Tomemos a figura abaixo:

Nela temos dois referenciais, dos quais S é o nosso ponto de vista e S' é um referencial que se desloca em relação a S. O corpo m tem uma velocidade conhecida em relação a S' e desejamos conhecer sua velocidade em relação a S

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A velocidade do corpo m em relação ao referencial S pode ser deduzida da figura. De antemão notemos que só há movimento ao longo do eixo x (o que foi feito por simplicidade) embora possamos igualmente trabalhar com movimentos em espaço tridimensional com a mesma análise.

Os vetores em vermelho representam os vetores posições de m em relação a S. Os vetores em verde são respectivamente os vetores deslocamento de S' em relação a S (x) e de m em relação a S' (x'). O observador em S registrará

Referenciais em Mecânica B_i876
mas
Referenciais em Mecânica Forum_de_Natal

e obtemos a velocidade de m em relação a S como a soma das velocidades de S' em relação a S e de m em relação a S'.

Velocidade relativa de afastamento ou aproximação

Na figura abaixo temos duas situações que podem representar os movimentos de dois veículos numa estrada reta.

Referenciais em Mecânica 186

Temos assim a expressão vetorial da velocidade de afastamento, ou aproximação de m' em relação a m. A velocidade de m em relação a m' terá a mesma forma Referenciais em Mecânica Gif e seu módulo apresentará um sinal oposto.

De maneira prática, a velocidade de afastamento, ou aproximação, relativos entre dois móveis terá módulo igual à soma dos módulos das velocidades.
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