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Pêndulos

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Mensagem por PedroX Dom 26 Ago 2018, 15:59

Este artigo foi originalmente postado pelo Euclides numa página extra.

1. O Pêndulo Simples

Quando começamos a estudar os pêndulos sempre o fizemos na suposição de que eram formados por uma massa de dimensões desprezíveis presas a fios inextensíveis e de massas igualmente desprezíveis.

Isso foi vantajoso, pois pudemos nos concentrar na essência do movimento pendular. Isolamos as variáveis que nos interessava investigar. Em particular desejávamos conhecer o período dos pêndulos que assim eram chamados Pêndulos Simples.

Pêndulos Massamola13

Vimos também quais as forças que atuam no seu movimento e que a força centrípeta responsável pelo movimento circular é a resultante entre a componente do peso da massa pendular que é colinear ao fio (Py) e a tração (T) no fio. A componente tangencial do peso produz a aceleração tangencial, sempre oposta ao movimento, de maneira que Px é sempre uma força restauradora.

O pêndulo executa um movimento oscilatório que, para ângulos muito pequenos (θ ~ 3º), é um MHS cujo período é dado por Pêndulos Gif

O pêndulo simples será de boa ajuda no estudo dos pêndulos reais, ou pêndulos compostos, ou ainda, pêndulos físicos.

2. O Pêndulo Físico

Em todos os pêndulos reais que pudermos construir as massas pendulares não serão simples partículas, mas possuirão dimensões que nem sempre serão desprezíveis, os fios terão massa e muitas vezes serão substituídos por hastes rígidas de massas não desprezíveis. Na verdade, qualquer corpo que seja posto a oscilar preso a um ponto fora do seu centro de massa constituirá um pêndulo.

Pêndulos Gabarito

Nestes casos a massa já não pode mais ser considerada pontual. Sua distribuição em relação ao eixo de rotação já é significativa e precisa ser considerada sob o ponto de vista da Dinâmica da Rotação.

Na dinâmica da rotação aprendemos que a distribuição de massa em relação ao eixo de rotação é a responsável pela inércia dos corpos nesses casos e recebe o nome de Momento de Inércia.

O momento de inércia de um sistema em rotação é a soma dos momentos de inércia de todos os seus constituintes.

O pêndulo da figura abaixo é muito comum em alguns tipos de relógios. Neles uma massa pendular é fixa a uma haste rígida. Um sistema de corda aplica uma força ao pêndulo de maneira a compensar as perdas por atritos e manter o período constante. O movimento do pêndulo aciona um sistema de engrenagens que move os ponteiros. Exceto pela energia adicional para compensar as perdas, este é um relógio movido a gravidade.

Pêndulos Gabarito

Para lidar com este tipo de pêndulo precisaremos conhecer a distância entre o centro de massa do sistema e o centro de giração. Para isso faremos uma muito pequena revisão sobre como encontrar o centro de massa de um sistema de partículas.

3 - A Posição do Centro de Massa

O centro de massa de um corpo é a posição pela qual se pendurado ele apresenta um equilíbrio indiferente. Isto é o mesmo que dizer que o centro de massa é o ponto em que toda a massa do corpo estaria concentrada se ele fosse representado por uma partícula equivalente. Se um corpo apresenta isotropia em relação à sua massa específica, isto é, se a sua massa específica for a mesma em qualquer de seus pontos, o centro de massa se localiza coincidente com o seu centro geométrico.

A depender da geometria de um corpo o seu centro de massa pode mesmo estar fora dele:

Pêndulos Gabarito

Duas pequenas esferas de massas iguais a m separadas por uma distância d, terão seu centro de massa situado no ponto médio entre elas e isso é até bastante intuitivo.

Veremos a seguir como calcular a posição do centro de massa de uma distribuição de partículas.

3.1 - Centro de massa de um sistema de partículas

A exemplo do raciocínio intuitivo para encontrar o centro de massa de duas pequenas esferas idênticas podemos estender e completar o método analítico para resolver o problema em qualquer situação.

Num caso geral a posição do CM corresponderá a uma média ponderada entre as posições dos CMs de cada partícula e suas massas.

Pêndulos Gabarito

Agora já poderemos retornar ao pêndulo que estávamos examinando.

A figura abaixo mostra como podemos calcular a posição do centro de massa de um pêndulo composto em relação ao seu eixo de giro orientando um eixo a partir desse ponto.

Pêndulos Gabarito
Pêndulos Gif

4. O Período do pêndulo composto

Assim como o pêndulo simples, o composto executa um MHS para pequenas oscilações, cujo período será dado por:

Pêndulos Gif

Se considerarmos um pêndulo simples cujo comprimento seja

Pêndulos Gif

podemos perceber que existirá, para cada pêndulo composto, um pêndulo simples que bate o mesmo período. O comprimento assim obtido fornece a posição do Centro de Oscilação do pêndulo composto.

5 - O Momento de Inércia de um Pêndulo Composto

Consideremos um pêndulo composto por uma haste fina e um disco, como mostra a figura abaixo:

Pêndulos Gabarito

Pelo que vimos na Dinâmica da Rotação já sabemos que o momento de inércia do pêndulo em relação ao eixo de giro será igual à soma dos momentos de inércia da haste e do disco em relação ao mesmo eixo.

Na tabela fornecida naquela página podemos encontrar os momentos de inércia do disco e da haste em relação a um eixo perpendicular que passe pelos seus centros:

Pêndulos Gif

O Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos) ensina que o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo seu centro de massa é dado por

Pêndulos Gif

em que x é a distância do centro de massa ao eixo escolhido. Com isso podemos calcular o momento de inércia do pêndulo acima:

Pêndulos Gif

Pêndulos Gif

e a distância do CM ao eixo será, como já se viu
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