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Dinâmica da Rotação

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Dinâmica da Rotação Empty Dinâmica da Rotação

Mensagem por PedroX Dom 26 Ago 2018, 12:44

Este artigo foi originalmente postado pelo Euclides numa página extra.

Faremos uma abordagem da Dinâmica de Rotação procurando mostrar os conceitos fundamentais e sua analogia com seus equivalentes já conhecidos na Dinâmica de Translação. Os conceitos a seguir deverão estar ao alcance dos estudantes de nível médio que já tenham aprendido a lidar com as Leis de Newton, movimento circular e energia cinética.

Parte 1 - Inércia, Massa e Momento de Inércia

Já aprendemos que a inércia corresponde a uma tendência natural dos corpos para conservar o seu estado de equilíbrio, ou seja, para permanecer no estado de repouso, ou em movimento retilíneo e uniforme, conforme estejam em repouso ou em MRU.

Isto está enunciado na Primeira Lei de Newton, ou Lei da Inércia.

Para produzir uma alteração no estado de inércia de um corpo necessitamos empregar uma força cujo resultado será uma aceleração. Sabemos que essa aceleração será tão maior ou tão menor quanto maior ou menor for a massa do corpo. Eis porque a massa é considerada uma medida da inércia dos corpos.

Este é o conteúdo da Segunda Lei de Newton. No nível médio ela nos é apresentada na forma F=m.a. Veremos depois que Newton a apresentou de outra maneira no seu "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica".

Os corpos em rotação também possuem inércia e obedecem a segunda lei. Há, porém, na rotação, uma particularidade: a distribuição da massa em relação ao eixo de rotação.

Dinâmica da Rotação Gabarito

Se você colocar a sua bicicleta com as rodas para cima de modo que possa fazer girar a roda dianteira livremente verá que ela gira de maneira estável e equilibrada. Se, entretanto, você adicionar uma massa em um ponto da sua circunferência e novamente colocá-la para rodar, perceberá que agora ela produz um "solavanco", querendo pender ora para lá, ora para cá. Isso aconteceu porque você alterou a distribuição da massa da roda em relação ao seu eixo de rotação. Uma grandeza chamada "Momento de Inércia" foi alterada e outra grandeza chamada "Momento Angular" mudou de posição.

O que interessa no momento é perceber que o resultado da força que foi empregada (suponhamos a mesma nos dois casos) foi diferente para cada distribuição de massa.

Isso nos indica que no caso da rotação, a inércia não é representada apenas pela massa, mas também pela sua distribuição em relação ao eixo de rotação. Isso recebe o nome de "Momento de Inércia" e, na rotação, representa a inércia do corpo, assim como a massa o faz na translação.

Momento de Inércia de uma partícula em rotação

A figura 2 abaixo mostra a situação em que uma partícula de massa m descreve uma rotação em torno de um eixo descrevendo um círculo de raio r.

Dinâmica da Rotação Gabarito

A partícula gira com uma velocidade Dinâmica da Rotação Gif e logo a sua energia cinética é:

Dinâmica da Rotação Gif

A grandeza Dinâmica da Rotação Gif recebe o nome de "Momento de Inércia".

Um corpo rígido pode ser considerado como um conjunto de partículas cujas posições relativas são fixas.

A figura 3 mostra um sistema de partículas em rotação ao redor de um mesmo eixo, mantendo suas posições relativas constantes. O momento de inércia do sistema é a soma dos momentos de inércia de cada partícula:

Dinâmica da Rotação Gabarito

Dinâmica da Rotação Gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cbg_white%20%5C%5CI=I_1+I_2+...+I_n%5C%5CI=m_1r_1%5E2+m_2r_2%5E2+..

Para cada distribuição de massa e para cada eixo de rotação teremos um momento de inércia. Esses momentos de inércia são obtidos através do Cálculo integral que expressa de maneira contínua aquele somatório. Na tabela abaixo são fornecidos os momentos de inércia de algumas distribuições de massa:

ElementoPosição do eixoMomento de InérciaPosição do eixoMomento de Inércia
Haste fina (L)perpendicular ao centroDinâmica da Rotação Gifna extremidadeDinâmica da Rotação Gif
Discoperpendicular ao centroDinâmica da Rotação Gifcontendo um diâmetroDinâmica da Rotação Gif
Cilindropelo centro, paralelo à geratrizDinâmica da Rotação Gifpelo centro, perpendicular à geratrizDinâmica da Rotação Gif
Esferacontendo um diâmetroDinâmica da Rotação Gif


Parte 2 - Energia cinética de um corpo em rotação e segunda lei de Newton na rotação

Pelo que foi exposto anteriormente a energia cinética de um corpo em rotação será dada por:

Dinâmica da Rotação Gif

Da segunda lei sabemos que uma força faz variar a aceleração de um corpo. A lei aplica-se na rotação:

Dinâmica da Rotação Gabarito

O disco acima gira em relação a um eixo perpendicular ao plano que o contém e passante pelo centro. Essa rotação se dá pela ação da força F, ou mais propriamente, pelo momento da força F em relação ao centro. Vamos designar esse torque pela letra tau Dinâmica da Rotação Gif.

O torque deve, portanto, fazer variar a velocidade angular do disco em proporção à sua inércia:

Dinâmica da Rotação Gif (a)

em função da aceleração angular ou da aceleração tangencial. De outra forma, vamos agora ver a segunda lei da maneira como Newton a enunciou:

Dinâmica da Rotação Gif

em função da variação do momento linear em relação ao tempo. O momento linear se expressa como Dinâmica da Rotação Gif e se estamos supondo uma verdadeira analogia entre as leis da translação e da rotação, deve haver algo equivalente ao momento linear na rotação e, que antecipadamente, vamos dizer que se chama "momento angular".

Dinâmica da Rotação Gif

que é a expressão para o momento angular. Da mesma maneira que o momento linear se conserva na ausência de forças externas, também o momento angular se conserva. Nos dois casos, a variação do momento reflete a ação de uma força externa.

Ainda persistindo na analogia, se a variação do momento linear corresponde à força aplicada, a variação do momento angular deve corresponder ao torque aplicado:

Dinâmica da Rotação Gif

e sendo o momento de inércia constante

Dinâmica da Rotação Gif

a mesma equação (a) que já encontramos anteriormente com um raciocínio diferente.

Parte 3 - Três exemplos de aplicações

Exemplo I: A figura abaixo mostra um disco de massa M e raio r que gira na vertical devido ao corpo de massa m, sob a ação da gravidade. (Encontre o momento de inércia do disco na tabela fornecida).

Dinâmica da Rotação Gabarito

Calcule:
a) a tração no fio
b) a aceleração do conjunto

Solução:

Da mesma maneira que fazíamos na translação, vamos fazer o equacionamento de corpo isolado para o disco e o bloco.

No disco: A segunda lei aplicada à rotação nos diz que Dinâmica da Rotação Gif sendo Dinâmica da Rotação R temos Dinâmica da Rotação Gif

No bloco:

Dinâmica da Rotação Gif

mas, como
Dinâmica da Rotação Gif

Dinâmica da Rotação Gif

agora a tração é obtida facilmente.

Exemplo II: Uma esfera de massa m e raio r rola sem deslizar (a partir do repouso) por um plano horizontal, impulsionada por uma força F, tangente à sua superfície, que atuou por t s. Calcule sua energia cinética total.

Solução:

o rolamento sem deslizamento é um movimento composto por rotação e translação. Logo devemos encontrar a soma das energias cinéticas de translação e de rolamento.

Vimos que o torque aplicado corresponde a uma variação no momento angular

Dinâmica da Rotação Gif

portanto podemos encontrar a variação da velocidade angular que será a velocidade angular final, já que o movimento se inicia a partir do repouso.

Dinâmica da Rotação Gif

a energia cinética de rotação

Dinâmica da Rotação Gif

Dinâmica da Rotação Gif

a energia cinética de translação é dada pela energia do centro de massa

Dinâmica da Rotação Gif

a energia cinética total

Dinâmica da Rotação Gif
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