O grande hotel Georg Cantor

QUESTÂO:
Todos os quartos do Hotel Georg Cantor estão ocupados, quando chegam os trens T1, T2,...,Tn,...(em quantidade infinita), cada um deles com infinitos passageiros. Que deve fazer o gerente para  hospedar todos ?

TEXTO SUPLEMENTAR PARA A QUESTÃO:
O Grande Hotel Georg Cantor tinha uma infinidade de quartos, numerados consecutivamente, um para cada número natural. Todos eram igualmente confortáveis. Num fim de semana prolongado, o hotel estava com seus quartos todos ocupados, quando chega um viajante. A recepcionista vai logo dizendo:
-Sinto muito, mas não há vagas.
Ouvindo isto, o gerente interveio:
-Podemos abrigar o cavalheiro, sim senhora.
E ordena:
-Transfira o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, passe o do quarto 2 para o quarto 3 e assim em diante. Quem estiver no quarto n, mude para o quarto n+1. Isto manterá todos alojados e deixará disponível o quarto 1 para o recém-chegado.
Logo depois chegou um ônibus com 30 passageiros, todos querendo hospedagem. A recepcionista, tendo aprendido a lição, removeu o hóspede de cada quarto n para o quarto n+30 e acolheu assim todos os passageiros do ônibus. Mas ficou sem saber o que fazer quando, horas depois, chegou um trem com uma infinidade de passageiros. Desesperada, apelou para o gerente que prontamente resolveu o problema dizendo: -Passe cada hóspede do quarto n para o quarto 2n. Isto deixará vagos todos os apartamentos de número ímpar, nos quais poremos os novos hóspedes.
-Pensando melhor:mude quem está no quarto n para o quarto 3n. Os novos hóspedes, ponha-os no quarto de número 3n+2. Deixaremos vagos os quartos de número 3n+1. Assim sobrarão ainda infinitos quartos vazios e eu poderei ter sossego por algum tempo.

Esse é o famoso problema do Hotel de Hilbert