COMBINATÓRIA

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Resolvido COMBINATÓRIA

Mensagem por Joabe Nunes em Sab 11 Ago 2018, 11:33

Em uma reunião o número de mulheres era o dobro do número de homens. Cada mulher cumprimentou as demais com dois beijos no rosto. As mulheres cumprimentaram os homens com um aperto de mão, assim como os homens entre si. A soma do número total de apertos de mão com o número de beijos foi 351. A quantidade de pessoas presentes à reunião é um número cuja soma dos algarismos é igual a:
(a) 2.   (b) 4.   (c) 6.   (d) 8.   (e) 9.

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Resolvido Re: COMBINATÓRIA

Mensagem por VesTeles em Sab 11 Ago 2018, 13:56

Olá, eu pensei fazer desse jeito:

Total de mulheres = x
Total de homens = y

O total de beijos entre mulheres será dado por Cx,2 (pois ocorre apenas entre duas pessoas).

O total de aperto de mãos entre homens será dado por Cy,2

Aperto de mão entre homens e mulheres será Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2 (combinação de homens + mulheres dois a dois, eu subtrai por Cx,2 e cy,2, pois nessa combinação também está incluído os apertos de mão entre homens e os beijos entre mulheres)


Como dito no enunciado:  "o número de mulheres era o dobro do número de homens"

x = 2y, logo:

Beijo: C2y,2
Aperto H: Cy,2
Aperto H-M: C3y,2 - C2y,2 - Cy,2


A soma dará: 
C2y,2 + Cy,2 + C3y,2 - C2y,2 - Cy,2 -->  C3y,2 = 351






9y² - 3y = 2*351 --> y = 9

y = 9; x = 18 --> total = 27, logo 2+7 = 9



Desculpe caso eu tenha errado em algum cálculo, ou esteja incorreto, mas, por enquanto, acredito ser isso!

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Resolvido Re: COMBINATÓRIA

Mensagem por Andre Ampère em Sab 11 Ago 2018, 14:13

Sendo y o número de mulheres e x o número de homens, temos:
y=2x


Como cada mulher dá dois beijos em outra mulher, o número de beijos pode ser interpretado como:

2.\binom{y}{2}=2\binom{2x}{2}=\frac{2(2x)!}{2!(2x-2)!}=(2x)(2x-1) 

O número de cumprimentos entre homens e mulheres, pelo princípio fundamental da contagem é o produto entre o número de homens e o número de mulheres, ou seja:

xy = 2x.x = 2x²


Número de cumprimentos de homens entre si:

 \binom{x}{2}=\frac{x!}{2!(x-2)!}=\frac{x(x-1)}{2}


O ideal seria somar esses 3 resultados e igualar a 351, porém a raiz dessa equação não está dando um número inteiro, mas eu tenho 90% de certeza que meu raciocínio está certo hahahaha, até testei com uns valores. Mas vou deixar assim mesmo caso alguém encontre um erro na minha resolução ou no enunciado da questão.

Como eu já tava escrevendo vou deixar assim mesmo  VestTeles. Poderia me explicar como os cumprimentos entre homens e mulheres da minha resolução está errada ? E por que não considerou o numero de beijos sendo duas vezes a combinação do numero de mulheres tomadas dois a dois ? se elas são 2 beijos no rosto cada
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Resolvido Re: COMBINATÓRIA

Mensagem por Andre Ampère em Sab 11 Ago 2018, 14:19

@VesTeles escreveu:

Aperto de mão entre homens e mulheres será Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2 (combinação de homens + mulheres dois a dois, eu subtrai por Cx,2 e cy,2, pois nessa combinação também está incluído os apertos de mão entre homens e os beijos entre mulheres)
De fato, eu fiz as contas e é a mesma coisa que considerar o produto da quantidade de homens e mulheres...
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Resolvido Re: COMBINATÓRIA

Mensagem por VesTeles em Sab 11 Ago 2018, 14:41

Então, no seu cálculo você tem que considerar o aperto de mão entre as mulheres e os homens, pois aconteceu os aperto de mãos entre os homens, beijos entre mulheres e os apertos de mão entra mulheres e homens.

Sobre os beijos, eu não considerei oque elas davam 2 beijos, estou tentando refazer, mas estou tendo, por enquanto, apenas resultados quebrados. Nos meus cálculos eu considerei apenas o encontro entre mulheres.

Eu tinha pensado assim (e não sei se está certo): A cada encontro uma mulher da dois beijos na outra, então, na Cx+y,2 já é considerado cada encontro das duas mulheres e cada aperto de mão entre homens. Por isso, eu subtrai Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2. 


Acredito que meus cálculos estejam equivocados, mas como disse, eu também só estou tendo resultados quebrados.


Tentativa:

Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2 + 2*Cx,2 + Cy,2 --> Cx+y,2 + Cx,2, ou (considerando x = mulher e y = homem) --> C3y,2 + C2y,2


C3y,2 + C2y,2 = 13y² - 5y = 702 --> Resulta em números quebrados.

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Resolvido Re: COMBINATÓRIA

Mensagem por VesTeles em Sab 11 Ago 2018, 14:42

@Andre Ampère escreveu:
@VesTeles escreveu:

Aperto de mão entre homens e mulheres será Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2 (combinação de homens + mulheres dois a dois, eu subtrai por Cx,2 e cy,2, pois nessa combinação também está incluído os apertos de mão entre homens e os beijos entre mulheres)
De fato, eu fiz as contas e é a mesma coisa que considerar o produto da quantidade de homens e mulheres...

Estou tentando resolver o problema dois beijos, mas esse tá difícil kkk

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Resolvido Re: COMBINATÓRIA

Mensagem por Andre Ampère em Sab 11 Ago 2018, 18:15

Exatamente o que eu fiz kkkk, se considerar os dois beijos não dá inteiro...Queria saber de onde tiraram essa questão
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Resolvido Re: COMBINATÓRIA

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