Funções Trigonométricas

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Funções Trigonométricas

Mensagem por Tyler Durden em Sab 11 Ago 2018, 10:14

[Mackenzie]Seja f(x)=sen x+cos x e g(x)=3cos x*sen x.
Relativamente ás funções anteriores, de domínio IR, fazem-se as afirmações:

I-O período de f é 2PI.
II-O maior valor que g pode assumir é 1,5.
III-A imagem de f está contida na imagem de g.

Então:
a)Todas são verdadeiras
b)II e III são verdadeiras
c)I e III são verdadeiras.
d)I e II são verdadeiras.
e)Somente III é verdadeira

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Re: Funções Trigonométricas

Mensagem por Giovana Martins em Sab 11 Ago 2018, 22:21

Nota: na segunda linha da resolução eu utilizei uma das relações de Prostaférese.

\\f(x)=sen(x)+cos(x)=sen(x)+sen\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )\\\\f(x)=2sen\left ( \frac{\pi }{4} \right )cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )=\sqrt{2}cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )\\\\-1\leq cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )\leq  1\rightarrow -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )\leq  \sqrt{2}\\\\\therefore \ -\sqrt{2}\leq f(x)\leq \sqrt{2}\rightarrow \boxed {Im(f)=\left [ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right ]}\\\\f(x)=u cos\left ( w x\pm \phi  \right )\\\\P=\frac{2\pi}{|w|}\rightarrow P=\frac{2\pi }{|1|}\rightarrow \boxed {P=2\pi }\\\\g(x)=3cos(x)sen(x)=\left ( \frac{3}{2} \right )2sen(x)cos(x)=\frac{3}{2}sen(2x)\\\\-1\leq sen(2x)\leq 1\to -\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}sen(2x)\leq \frac{3}{2}\to -\frac{3}{2}\leq g(x)\leq \frac{3}{2}\\\\\therefore \ \boxed {Im(g)=\left [ -\frac{3}{2},\frac{3}{2} \right ]\supset Im(f)}\\\\Im(g)=\left [ -\frac{3}{2},\frac{3}{2} \right ]\to \boxed {f_{min}=-\frac{3}{2}\ \wedge \ f_{max}=\frac{3}{2}}
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Re: Funções Trigonométricas

Mensagem por Tyler Durden em Dom 12 Ago 2018, 14:17

Obrigado pela resolução, Giovana.

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