(EsPCEx 2015) Geometria analítica
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(EsPCEx 2015) Geometria analítica
Considere a circunferência que passa pelos pontos (0,0),(0,6) e (4,0) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0,6) e (4,0) pertencem a uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa circunferência, que passa pelo ponto (3,-2) , tem por equação:
A) 3x-2y-13=0
B)2x-3y-12=0
C)2x-y-8=0
D)x-5y-13=0
E)8x+3y-18=0
gabarito: A
Gostaria de saber se há como resolvê-la usando derivadas...
A) 3x-2y-13=0
B)2x-3y-12=0
C)2x-y-8=0
D)x-5y-13=0
E)8x+3y-18=0
gabarito: A
Gostaria de saber se há como resolvê-la usando derivadas...
viniciusp10- Padawan
- Mensagens : 50
Data de inscrição : 15/09/2017
Idade : 25
Localização : Viçosa-MG
Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica
Nomeando os pontos:
O(0; 0), M(0; 6), N(4; 0) e P(3; -2)
A distância entre os pontos M e N é o diâmetro da circunferência, pois a reta passa pelo centro da circunferência.
d(M,N) = √(36+16) = 2√13, logo o raio da circunferência é r = √13.
O centro da circunferência é o ponto médio do segmento MN.
xc = 2 e yc = 3 ---> C(2; 3)
Equação da circunferência:
(x-2)² + (y-3)² = 13 --> x² + y² -4x -6y = 0
O ponto P não pertence à circunferência, mas vamos achar a equação de sua reta r, pois esta reta tem um ponto que pertence à circunferência.
y+2 =m(x-3) --> r: mx -y + (-3m -2) = 0
A distância entre o centro da circunferência e a reta r é o próprio raio.
d = |2m -3 -3m-2|/√(m²+1) = √13 --> m = 3/2 ou m= -2/3
y+2 = (3/2)(x-3) --> 3x - 2y - 13 = 0
ou
y+2 =(-2/3)(x-3) --> 2x - 3y = 0
Agora sua dúvida:
Para resolver por derivada o enunciado teria q dar o ponto onde a reta tangente intercepta a circunferência. Neste caso, o ponto é L(5,1).
Equação da circunferência:
x² - 4x +y² - 6y = 0 --> derivando para achar o coeficiente angular da reta tangente --> dy/dx = (x-2)/(3-y)
no ponto L --> dy/dx = (5-2)/(3-1) =3/2
y+2 = (3/2)(x-3) --> 3x -2y -13 = 0
O(0; 0), M(0; 6), N(4; 0) e P(3; -2)
A distância entre os pontos M e N é o diâmetro da circunferência, pois a reta passa pelo centro da circunferência.
d(M,N) = √(36+16) = 2√13, logo o raio da circunferência é r = √13.
O centro da circunferência é o ponto médio do segmento MN.
xc = 2 e yc = 3 ---> C(2; 3)
Equação da circunferência:
(x-2)² + (y-3)² = 13 --> x² + y² -4x -6y = 0
O ponto P não pertence à circunferência, mas vamos achar a equação de sua reta r, pois esta reta tem um ponto que pertence à circunferência.
y+2 =m(x-3) --> r: mx -y + (-3m -2) = 0
A distância entre o centro da circunferência e a reta r é o próprio raio.
d = |2m -3 -3m-2|/√(m²+1) = √13 --> m = 3/2 ou m= -2/3
y+2 = (3/2)(x-3) --> 3x - 2y - 13 = 0
ou
y+2 =(-2/3)(x-3) --> 2x - 3y = 0
Agora sua dúvida:
Para resolver por derivada o enunciado teria q dar o ponto onde a reta tangente intercepta a circunferência. Neste caso, o ponto é L(5,1).
Equação da circunferência:
x² - 4x +y² - 6y = 0 --> derivando para achar o coeficiente angular da reta tangente --> dy/dx = (x-2)/(3-y)
no ponto L --> dy/dx = (5-2)/(3-1) =3/2
y+2 = (3/2)(x-3) --> 3x -2y -13 = 0
Lucas Pedrosa.- Matador
- Mensagens : 331
Data de inscrição : 25/01/2017
Idade : 27
Localização : NATAL - RN
Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica
Como sei que (5,1) é o ponto onde a reta tangente intercepta a circunferência?
eestudo2- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 152
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Idade : 26
Localização : sao paulo brasil
Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica
Um modo de calcular é:
x² - 4.x + y² - 6y = 0 ---> I
y = m.x - 3.m - 2 ---> II
II em I ---> Equação do 2º grau em x --> Para as retas serem tangentes, ∆ = 0 ---> Calcule m
Calcule x (dois valores) e y (dois valores) ---> Tem-se as coordenadas dos dois pontos de tangência
x² - 4.x + y² - 6y = 0 ---> I
y = m.x - 3.m - 2 ---> II
II em I ---> Equação do 2º grau em x --> Para as retas serem tangentes, ∆ = 0 ---> Calcule m
Calcule x (dois valores) e y (dois valores) ---> Tem-se as coordenadas dos dois pontos de tangência
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica
Bom dia amigos!
Perdão por reviver o tópico, porém, tentei fazer essa questão, mas não tive quase sucesso nenhum
Eu consegui construir a situação dada pela questão através do GeoGebra! Porém, quando fui realmente fazer a questão, através dos cálculos, só cheguei a metade. Por isso, vim aqui procurar ela, porém, me deparo com outra resolução que também não entendi...
Quem puder me ajudar, agradeço desde já!!
Essa daqui é a figura que consegui fazer, talvez auxilie vcs!
Perdão por reviver o tópico, porém, tentei fazer essa questão, mas não tive quase sucesso nenhum
Eu consegui construir a situação dada pela questão através do GeoGebra! Porém, quando fui realmente fazer a questão, através dos cálculos, só cheguei a metade. Por isso, vim aqui procurar ela, porém, me deparo com outra resolução que também não entendi...
Quem puder me ajudar, agradeço desde já!!
Essa daqui é a figura que consegui fazer, talvez auxilie vcs!
BatataLaranja345- Mestre Jedi
- Mensagens : 669
Data de inscrição : 09/07/2020
Idade : 19
Localização : Rio de Janeiro
BatataLaranja345- Mestre Jedi
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Data de inscrição : 09/07/2020
Idade : 19
Localização : Rio de Janeiro
Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica
Você tentou resolver sistema que eu montei na minha solução, substituindo I em II ?
Mostre o passo-a-passo da sua continuação da solução.
Mostre o passo-a-passo da sua continuação da solução.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica
Tentei sim, Elcio.
Porém, fui fazendo e travei nessa parte, creio que fiz algo errado... mas não consigo ver onde...
x² - 4.x + y² - 6y = 0 ---> I
y = m.x - 3.m - 2 ---> II
II em I
x² - 4x + y² - 6y = 0
x² - 4x + (mx - 3m - 2)² - 6(mx - 3m - 2)
∆ = 0
√{16 - 4.1.[(mx - 3m - 2)² - 6(mx - 3m - 2)]} = 0
16 - 4[(mx - 3m - 2)² - 6(mx - 3m - 2) = 0
4 - (mx - 3m - 2)² + 6(mx - 3m - 2)
6mx - 18m - 8 = m²x² - 3m² - 2mx - 3m²x + 9m² + 6m - 2mx + 6m + 4
10mx - 30m - 12 = m²x² - 6m² - 4mx + 9m²
E daqui em diante, não consegui mais.
Não vejo nenhum erro... Pensei em por o "m" em evidência, para cortar né... mas ai vi que do lado esquerdo havia o "(-12)"
Obg pela atenção do senhor!
Porém, fui fazendo e travei nessa parte, creio que fiz algo errado... mas não consigo ver onde...
x² - 4.x + y² - 6y = 0 ---> I
y = m.x - 3.m - 2 ---> II
II em I
x² - 4x + y² - 6y = 0
x² - 4x + (mx - 3m - 2)² - 6(mx - 3m - 2)
∆ = 0
√{16 - 4.1.[(mx - 3m - 2)² - 6(mx - 3m - 2)]} = 0
16 - 4[(mx - 3m - 2)² - 6(mx - 3m - 2) = 0
4 - (mx - 3m - 2)² + 6(mx - 3m - 2)
6mx - 18m - 8 = m²x² - 3m² - 2mx - 3m²x + 9m² + 6m - 2mx + 6m + 4
10mx - 30m - 12 = m²x² - 6m² - 4mx + 9m²
E daqui em diante, não consegui mais.
Não vejo nenhum erro... Pensei em por o "m" em evidência, para cortar né... mas ai vi que do lado esquerdo havia o "(-12)"
Obg pela atenção do senhor!
BatataLaranja345- Mestre Jedi
- Mensagens : 669
Data de inscrição : 09/07/2020
Idade : 19
Localização : Rio de Janeiro
Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica
Você não montou a equação do 2º grau!!!
x² - 4.x + y² - 6.y = 0
x² - 4x + (m.x - 3.m - 2)² - 6.(m.x - 3.m - 2) = 0
x² - 4.x + {(- 6.m² - 4.m).x + 9.m² + 6.m + 4} + (- 6.m).x + 18.m + 12 = 0
(m² + 1).x² - (6.m² + 10.m).x + (9.m² + 24.m + 16 ) = 0
Agora sim! Confira as contas e calcule ∆
x² - 4.x + y² - 6.y = 0
x² - 4x + (m.x - 3.m - 2)² - 6.(m.x - 3.m - 2) = 0
x² - 4.x + {(- 6.m² - 4.m).x + 9.m² + 6.m + 4} + (- 6.m).x + 18.m + 12 = 0
(m² + 1).x² - (6.m² + 10.m).x + (9.m² + 24.m + 16 ) = 0
Agora sim! Confira as contas e calcule ∆
Elcioschin- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica
Caramba hein, kkkkk
Esqueci totalmente do mais importante da resolução Elcio!
Agora... eu não entendi essa conta que o senhor fez... Se fizemos (mx - 3m - 2)², não ficaria, simplificando:
m²x² - 6m²x - 4mx + 9m² + 12m + 4
Mas creio que o resto das contas deve estar certo! Dps é só calcular o ∆, pois ele será = 0
Então calcular x e y!
Esqueci totalmente do mais importante da resolução Elcio!
Agora... eu não entendi essa conta que o senhor fez... Se fizemos (mx - 3m - 2)², não ficaria, simplificando:
m²x² - 6m²x - 4mx + 9m² + 12m + 4
Mas creio que o resto das contas deve estar certo! Dps é só calcular o ∆, pois ele será = 0
Então calcular x e y!
BatataLaranja345- Mestre Jedi
- Mensagens : 669
Data de inscrição : 09/07/2020
Idade : 19
Localização : Rio de Janeiro
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