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(EsPCEx 2015) Geometria analítica

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Mensagem por viniciusp10 Seg 06 Ago 2018, 14:09

Considere a circunferência que passa pelos pontos (0,0),(0,6) e (4,0) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0,6) e (4,0) pertencem a uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa circunferência, que passa pelo ponto (3,-2) , tem por equação:

A) 3x-2y-13=0
B)2x-3y-12=0
C)2x-y-8=0
D)x-5y-13=0
E)8x+3y-18=0

gabarito: A

Gostaria de saber se há como resolvê-la usando derivadas...
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(EsPCEx 2015) Geometria analítica Empty Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica

Mensagem por Lucas Pedrosa. Seg 06 Ago 2018, 21:28

Nomeando os pontos:
O(0; 0), M(0; 6), N(4; 0) e P(3; -2)

A distância entre os pontos M e N é o diâmetro da circunferência, pois a reta passa pelo centro da circunferência.
d(M,N) = √(36+16) = 2√13, logo o raio da circunferência é r = √13.

O centro da circunferência é o ponto médio do segmento MN.
xc = 2 e yc = 3 ---> C(2; 3)

Equação da circunferência:
(x-2)² + (y-3)² = 13 --> x² + y² -4x -6y = 0

O ponto P não pertence à circunferência, mas vamos achar a equação de sua reta r, pois esta reta tem um ponto que pertence à circunferência.

y+2 =m(x-3) --> r: mx -y + (-3m -2) = 0

A distância entre o centro da circunferência e a reta r é o próprio raio.

d = |2m -3 -3m-2|/√(m²+1) = √13 --> m = 3/2 ou  m= -2/3

y+2 = (3/2)(x-3) --> 3x - 2y - 13 = 0

ou

y+2 =(-2/3)(x-3) --> 2x - 3y = 0

Agora sua dúvida:

Para resolver por derivada o enunciado teria q dar o ponto onde a reta tangente intercepta a circunferência. Neste caso, o ponto é L(5,1).

Equação da circunferência:
x² - 4x +y² - 6y = 0 --> derivando para achar o coeficiente angular da reta tangente --> dy/dx = (x-2)/(3-y)
no ponto L --> dy/dx = (5-2)/(3-1) =3/2

y+2 = (3/2)(x-3) --> 3x -2y -13 =  0
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(EsPCEx 2015) Geometria analítica Empty Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica

Mensagem por eestudo2 Qui 05 Set 2019, 10:28

Como sei que (5,1) é o ponto onde a reta tangente intercepta a circunferência?

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Mensagem por Elcioschin Qui 05 Set 2019, 10:48

Um modo de calcular é:

x² - 4.x + y² - 6y = 0 ---> I

y = m.x - 3.m - 2 ---> II

II em I ---> Equação do 2º grau em x --> Para as retas serem tangentes, ∆ = 0 ---> Calcule m


Calcule x (dois valores) e y (dois valores) ---> Tem-se as coordenadas dos dois pontos de tangência
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Mensagem por BatataLaranja345 Seg 26 Abr 2021, 08:55

Bom dia amigos!
Perdão por reviver o tópico, porém, tentei fazer essa questão, mas não tive quase sucesso nenhum Razz 

Eu consegui construir a situação dada pela questão através do GeoGebra! Porém, quando fui realmente fazer a questão, através dos cálculos, só cheguei a metade. Por isso, vim aqui procurar ela, porém, me deparo com outra resolução que também não entendi...
Quem puder me ajudar, agradeço desde já!! cheers

(EsPCEx 2015) Geometria analítica HiVzwDEWQbsAAAAASUVORK5CYII=
Essa daqui é a figura que consegui fazer, talvez auxilie vcs! Wink
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Mensagem por BatataLaranja345 Seg 26 Abr 2021, 16:51

Up! cheers
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Mensagem por Elcioschin Seg 26 Abr 2021, 18:43

Você tentou resolver sistema que eu montei na minha solução, substituindo I em II ?

Mostre o passo-a-passo da sua continuação da solução.
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Mensagem por BatataLaranja345 Seg 26 Abr 2021, 19:02

Tentei sim, Elcio.
Porém, fui fazendo e travei nessa parte, creio que fiz algo errado... mas não consigo ver onde...

x² - 4.x + y² - 6y = 0 ---> I

y = m.x - 3.m - 2 ---> II

II em I

x² - 4x + y² - 6y = 0
x² - 4x + (mx - 3m - 2)² - 6(mx - 3m - 2)
      ∆ = 0
√{16 - 4.1.[(mx - 3m - 2)² - 6(mx - 3m - 2)]} = 0

16 - 4[(mx - 3m - 2)² - 6(mx - 3m - 2) = 0
4 - (mx - 3m - 2)² + 6(mx - 3m - 2)
6mx - 18m - 8 = m²x² - 3m² - 2mx - 3m²x + 9m² + 6m - 2mx + 6m + 4
10mx - 30m - 12 = m²x² - 6m² - 4mx + 9m²


E daqui em diante, não consegui mais.

Não vejo nenhum erro... Pensei em por o "m" em evidência, para cortar né... mas ai vi que do lado esquerdo havia o "(-12)"
Obg pela atenção do senhor! cheers
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Mensagem por Elcioschin Seg 26 Abr 2021, 20:29

Você não montou a equação do 2º grau!!!

x² - 4.x + y² - 6.y = 0

x² - 4x + (m.x - 3.m - 2)² - 6.(m.x - 3.m - 2) = 0

- 4.x + {(- 6.m² - 4.m).x + 9.m² + 6.m + 4} + (- 6.m).x + 18.m + 12 = 0

(m² + 1).x² - (6.m² + 10.m).x + (9.m² + 24.m + 16 ) = 0

Agora sim! Confira as contas e calcule 
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(EsPCEx 2015) Geometria analítica Empty Re: (EsPCEx 2015) Geometria analítica

Mensagem por BatataLaranja345 Seg 26 Abr 2021, 21:16

Caramba hein, kkkkk
Esqueci totalmente do mais importante da resolução Elcio!
Agora... eu não entendi essa conta que o senhor fez... Se fizemos (mx - 3m - 2)², não ficaria, simplificando:
m²x² - 6m²x - 4mx + 9m² + 12m + 4

Mas creio que o resto das contas deve estar certo! Dps é só calcular o ∆, pois ele será = 0
Então calcular x e y!
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