Indução Matemática - Questão
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Indução Matemática - Questão
Mostre pelo Princípio da Indução Matemática que:
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} + ... + \frac{(-1)^n}{2^n} = \frac{2^{n+1}+(-1)^n}{3 \times 2^n}
Seja P(k):
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} + ... + \frac{(-1)^k}{2^k} = \frac{2^{k+1}+(-1)^k}{3 \times 2^k}
Base da Indução: Fazendo k = 1 temos que
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} + ... + \frac{(-1)^1}{2^1} = \frac{2^{1+1}+(-1)^1}{3 \times 2^1}
Logo P(1) é verdadeira.
Hipótese de Indução (H.I.): Suponha que P(k) é verdadeiro.
Passo Indutivo: Vamos provar que que se P(k) é verdadeiro então P(k+1) é verdadeiro, isto é:
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} + ... + \frac{(-1)^k}{2^k} + \frac{(-1)^{k+1}}{2^{k+1}} = \frac{2^{(k+1)+1}+(-1)^{k+1}}{3 \times 2^{k+1}}
Até aqui acho que foi, daqui em diante é que complica um pouco....
Tentando resolver o lado esquerdo...
\frac{2^{k+1}+(-1)^k}{3 \times 2^k} + \frac{(-1)^{k+1}}{2^{k+1}} =
\frac{4^k -1}{6^k} + \frac{1}{4^k} =
Estou tentando ver o lado direito...
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} + ... + \frac{(-1)^n}{2^n} = \frac{2^{n+1}+(-1)^n}{3 \times 2^n}
Seja P(k):
Base da Indução: Fazendo k = 1 temos que
Logo P(1) é verdadeira.
Hipótese de Indução (H.I.): Suponha que P(k) é verdadeiro.
Passo Indutivo: Vamos provar que que se P(k) é verdadeiro então P(k+1) é verdadeiro, isto é:
Até aqui acho que foi, daqui em diante é que complica um pouco....
Tentando resolver o lado esquerdo...
Estou tentando ver o lado direito...
Última edição por sandrolor em Ter 31 Jul - 17:43, editado 1 vez(es)
sandrolor- Iniciante
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gilberto97- Fera
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