Indução Matemática - Questão

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Resolvido Indução Matemática - Questão

Mensagem por sandrolor em Ter Jul 31 2018, 17:34

Mostre pelo Princípio da Indução Matemática que:

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} + ... + \frac{(-1)^n}{2^n} = \frac{2^{n+1}+(-1)^n}{3 \times 2^n}


Seja P(k): 

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} + ... + \frac{(-1)^k}{2^k} = \frac{2^{k+1}+(-1)^k}{3 \times 2^k}

Base da Indução: Fazendo k = 1 temos que

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} + ... + \frac{(-1)^1}{2^1} = \frac{2^{1+1}+(-1)^1}{3 \times 2^1}

Logo P(1) é verdadeira.

Hipótese de Indução (H.I.): Suponha que P(k) é verdadeiro.
Passo Indutivo: Vamos provar que que se P(k) é verdadeiro então P(k+1) é verdadeiro, isto é:

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} + ... + \frac{(-1)^k}{2^k} + \frac{(-1)^{k+1}}{2^{k+1}} = \frac{2^{(k+1)+1}+(-1)^{k+1}}{3 \times 2^{k+1}}

Até aqui acho que foi, daqui em diante é que complica um pouco....
Tentando resolver o lado esquerdo...

\frac{2^{k+1}+(-1)^k}{3 \times 2^k} + \frac{(-1)^{k+1}}{2^{k+1}} =

\frac{4^k -1}{6^k} + \frac{1}{4^k} =

Estou tentando ver o lado direito...


Última edição por sandrolor em Ter Jul 31 2018, 17:43, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Indução Matemática - Questão

Mensagem por gilberto97 em Qua Ago 01 2018, 21:54


gilberto97
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