Triângulo Retângulo

O ângulo de 37° é o famoso ângulo cujo seno é aproximadamente 0,6 e o cosseno aproximadamente 0,8.

Propriedade: o incentro é equidistante dos lados do triângulo. Desse modo, há uma circunferência inscrita no triângulo.



\\sen(37)=\frac{BH}{BC}\rightarrow BC=10\sqrt{2}\ e\ cos(37)=\frac{CH}{BC}\rightarrow CH=8\sqrt{2}\\\\HK=HL=R,BK=BN=6\sqrt{2}-R,CN=CL=4\sqrt{2}+R\\\\2(BN+CN+HL)=BH+BC+CH\rightarrow R=2\sqrt{2}\\\\sen(53)=\frac{BH}{AB}\rightarrow AB=\frac{15\sqrt{2}}{2}\ e\ cos(53)=\frac{AH}{AB}\rightarrow AH=\frac{9\sqrt{2}}{2}\\\\HQ=HP=r,BQ=BO=6\sqrt{2}-r,AO=AP=\frac{3\sqrt{2}}{2}+r\\\\2(BQ+AP+HQ)=AB+AH+BH\rightarrow r=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\\\HF=R\sqrt{2}\rightarrow HF=4\ e\ HE=r\sqrt{2}\rightarrow HE=3\ \therefore \ EF=5\\\\HE.HF=HG.EF\rightarrow 4.3=5.HG\rightarrow \boxed {HG=2,4}

Nota: na minha figura eu acabei trocando o ponto Q pelo ponto G. Então, o análogo ao segmento QH é o segmento HG, que foi o que eu calculei. Eu não explicitei as manipulações com os ângulos de 90° e com os demais cálculos para não poluir demais o desenvolvimento algébrico. HE e HF são as diagonais de um quadrado cujos lados são os raios de cada circunferência. O ∆EFH é um triângulo pitagórico (3,4,5) e os pontos E e F são os incentros de cada triângulo. Se surgir dúvidas, pergunte.