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[FME] Geometria

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Mensagem por Luciana Cabrall Ter 26 Jun 2018, 18:11

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O exercício pede a altura do trapézio retângulo ABCD. Pq não pode ser h=2R?
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Mensagem por Elcioschin Ter 26 Jun 2018, 19:59

Porque não basta dizer que h = 2.R. É necessário provar. E, pela figura, parece que R > AB/2

Sejam O o centro do círculo (ponto médio de AB), e P o ponto de tangência entre C e D

AB = h ---> altura do trapézio ---> OA = OB = h/2

BC = r ---> PC = r
AD = R ---> PD = R

CD = r + R

Trace OC, OD e OP

OC² = BC² + OB² ---> OC² = r² + (h/2)² ---> OC² = r² + h²/4 ---> I
OD² = AD² + OA² ---> OD² = R² + (h/2)² ---> OD² = R² + h²/4 ---> II

Os triângulos  AOD e POD são iguais, o mesmo acontecendo com BOC e POC

Isto significa que OD e OC são bissetrizes de A^DP e B^CP. Facilmente se prova que CÔD é retângulo:

CD² = OC² + OD² ---> (r + R)² = (r² + h²/4) + (R² + h²/4) ---> Calcule h
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Mensagem por Luciana Cabrall Qua 27 Jun 2018, 12:07

Mas,considerando o ponto  A e B fazendo 90º com a circunferência (ponto de tangência),o segmento AB não seria a altura?
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Mensagem por Elcioschin Qua 27 Jun 2018, 13:02

Sim, AB é a altura do trapézio. E eu escrevi isto na 3ª linha da minha solução.
O que não se pode garantir é que AB = 2.AD ---> h = 2.R
Pegue um compasso, com centro em A e ponta do lápis em D (raio R) e gire em sentido anti-horário, até a ponta do lápis chegar na reta AB.
Você verá, claramente, que a ponta do lápis vai ficar entre o centro O do círculo e o ponto B. Isto significa que R não é o raio do círculo.
Obviamente, o desenho pode estar errado. Mas é preciso provar isto e foi o que eu fiz.
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Mensagem por Luciana Cabrall Qui 28 Jun 2018, 00:00

Ah,valeu!
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