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UFF - Números complexos

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Mensagem por JohnnyC Seg 18 Jun 2018, 18:07

O número complexo z, lzl > 1, está representado geometricamente a seguir (figura 1).

UFF - Números complexos Screen10

A figura que pode representar, geometricamente, o número complexo z² é:

UFF - Números complexos Thumbn10

R: c)

Amigos, poderiam me ajudar nessa questão ? Obrigado.

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Mensagem por leon030299 Seg 18 Jun 2018, 18:19

z^2=(a+bi)^2=a^2+2abi+(bi)^2=a^2-b^2+2abi

z^2=(a^2-b^2) +(2ab)i   na figura, tem-se que a>b -->a^2-b^2>0. então, a parte real é positiva, ficamos entre C,D e E. Na parte imaginária, tem-se 2ab logo, é positiva e maior que b, nos resta então a letra C, pois na D, ela é negativa e na E, ela não é mais que o dobro da parte imaginária de z.
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Mensagem por JohnnyC Seg 18 Jun 2018, 18:59

Muito obrigado pela ajuda, Leon.

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Mensagem por JohnnyC Seg 18 Jun 2018, 19:08

Leon, veja se assim também está certo: apliquei 1ª fórmula de moivre e, fazendo as transformações, cheguei em z² = 2 cos²x - 1 + i.2senxcosx
Ou seja, teríamos a parte real positiva e a imaginária também.
Está certo pensar assim ?

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Mensagem por leon030299 Seg 18 Jun 2018, 19:51

Nesse caso não , pois na parte real tem-se 2cos²x-1, para ser positiva--> 2cos²x≥1
cos²x≥0,5 sabemos que x varia(em graus) de 0 a 90. Logo, o cosseno varia de 0 a 1(sem raiz negativa para cos²x).
cosx≥0,7071. arccos(0,7071)=45º---> x≥45º. Não tem como se afimar que o angulo do |z| é maior que 45º só olhando, só da pra afirmar a e b são positivos e x(argumento) varia de 0 a 90. Na parte imaginária dá para afirmar, pois z está no primeiro quadrante do grafico, tanto senx quanto cosx varia de 0 a 1. fora isso, a manipulação trigonométrica está certa, só não é uma igualdade,pois |z|²≠1.
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Mensagem por JohnnyC Seg 18 Jun 2018, 20:09

Eu fiz assim, veja bem:
2 cos²x - 1 > 0, pois a > 0
resolvendo, temos cosx > 1/2. Pra isso ocorrer, o ângulo tem que ser menor que 45º, pois a função cosseno é decrescente no 1º quadrante.
Daí, supus o ângulo sendo 30º.
Jogando em z² = 2cos²x - 1 + i.2senxcosx, a gente acha z² = (1/2) + i.√3/4. Portanto, percebemos que a e bi tem quase que os mesmos valores, o que nos leva à alternativa c).
Será que ainda assim está errado ?

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Mensagem por leon030299 Seg 18 Jun 2018, 20:45

Cometi um erro nessa parte:'' x≥45º. Não tem como se afirmar que o angulo do |z| é maior que 45º só olhando, só da pra afirmar a e b são positivos e x(argumento) varia de 0 a 90.'' na verdade é menor ou igual e o angulo limite é de aproximadamente 45º. Dá no que eu disse, se estiver nítido que o ângulo é menor que 45º( na figura está, já que a parte real é quase 2 vezes a imaginária) está certo. Na verdade, não era necessário fazer tantas manipulações trigonométricas pois na forma polar de z²:   z²=|z|²[cos(2x)+isen(2x)]>cos(2x)+isen(2x) supondo x<45º, já dava certo. Enfim, eu acho que do primeiro jeito é melhor pois é mais rápido, dá para fazer de cabeça, mas essa forma também está certa , pois ''a'' é claramente maior que ''b'', tornando impossível o argumento de z ser 45º, mas se ''a'' fosse muito próximo de ''b'' ou o gráfico não fosse proporcional, como acontece em algumas questões, não poderíamos tomar essa conclusão.
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Mensagem por JohnnyC Seg 18 Jun 2018, 21:36

Muito obrigado pela ajuda, Leon

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