Identificação da Cônica

Considere a cônica cuja equação é dada por

[; 5x^2 - 4xy + 8y^2 +\frac{20x}{\sqrt 5} - \frac{80y}{\sqrt 5} +4 = 0;]

RESOLUÇÃO :

[; X^t AX + KX + 4 = 0;] Onde :

[; A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{bmatrix} e ;] [; K =\begin{bmatrix}\frac{20}{\sqrt5} & \frac{-80}{\sqrt5} \end{bmatrix};]


Assim temos :

[; D = P^t AP;] onde D

[; D = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} e;] [; P =\begin{bmatrix}W_1 - W_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt5} & \frac{-1}{\sqrt5} \\ \frac{1}{\sqrt5} & \frac{2}{\sqrt5} \end{bmatrix} ;]


Fazendo mudança de variaveis :

[; X'' (P^t AP)X' + KPX' + 4 =0\ ou ;]

[; X'' DX' + KPX' + 4 =0\ ou \ ainda ;]

[; 4x'^2 + 9y'^2 - 8x' - 36y' + 4 =0;]


Pronto eu não entendi como se obteve o : [; - 8x' - 36y' ;].


Essa questão é do Livro Reginaldo J.Santos.

Olá Huan_ ,

Seu enunciado ficou ilegível, refaça-o por gentileza.

Uma dica: Quando postar uma questão, antes de enviá-la clique em "Pre-visualizar".

Jose Carlos.

Eu pré-visualizei antes de enviar.
Aqui estou vendo a questão nitidamente sem nenhuma ambiguidade.

VEJA O PRINT DA QUESTÃO :

https://2img.net/r/ihimg/f/695/semttulo1ht.jpg/

Esse tipo de LaTeX usado no Orkut e outros lugares não é visível a todos no fórum. Só para que o tem instalado. Aqui é preciso usar um dos editores LaTeX disponíveis.

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Olá Huan_ ,

Dê uma olhada no procedimento abaixo, é possível que sirva de alguma ajuda na resolução deste tipo de problema e talvez até sane a sua dúvida.

Fonte: Geometria Analítica - Charles H. Lehmann


Equação geral do segundo grau:

A x² + B xy + Cy² + D x + E y + F = 0 (1)

Quando temos B <> 0, sempre é possível por meio de uma rotação dos eixos coordenados transformar (1) em:

A’ x’² + C’ y’² + D’ x’ + E’ y’ + F’ = 0 (2)

Equações de transformação para uma rotação:

x = x’ * cos a – y’ * sen a

y = x' * sen a + y’ * cos a

onde:

A’ = A*cos² a + B*sen a*cos a + C* sen²a
B’ = 2*( C – A )*sen a*cos a + B*( cos² a – sen² a )
C’ = A* sen² a – B*sen a*cos a + C*cos² a
D’ = D*cos a + E*sen a
E’ = E*cos a – D*sen a
F’ = F


temos que: se (2) deve ser desprovida do termo em x’y’, o coeficiente B’ deve se anular. portanto, devemos ter:


2*( C – A )* sen a * cos a + B*( cos² a – sen² a ) = 0 (4)

Esta última equação pode ser escrita na forma:

( C – A )* sen 2a + B* cos 2a = 0

Se A <> C temos da equação (4) a relação

tg 2a = B/( A – C )

se A = C então a equação (4) se reduz à forma:

B*cos 2a= 0

Visto ser B <> 0 por hipótese, resulta que:

cos 2a = 0

O ângulo de rotação “a” é restrito ao intervalo 0 <= a < 90°, de maneira que o intervalo para 2*a é 0 <= a < 180°

Logo:

2*a = 90° => a = 45°


Resumindo:

tg 2a = B/(A-C) se A<> C

a = 45° se A = C


Definições:

Se ou A’ = 0 ou C’ = 0, diz-se que a equação é do tipo parabólico

Se A’ e C’ são de mesmo sinal, diz-se que a equação é do tipo elíptico

Se A1 e C’ são de sinais contrários diz-se que a equação é do tipo hiperbólico.


- O indicador I = B² - 4AC

se I = 0 -> equação do tipo parabólico
se I < 0 -> equação do tipo elíptico
se I > 0 -> equação do tipo hiperbólico



5x² - 4xy + 8y² + ( 20/\/5)x – ( 80/\/5)y + 4 = 0

A = 5

B = - 4

C = 8

D = 20/(\/5)

E = - ( 80/\/5 )

F = 4

O Indicador será:

I = B² - 4*A*C = 16 – 4*5*8 = 16 – 160 = - 144

I < 0 -> a equação é do tipo Elíptico.


tg 2a = B/ ( A – C ) = - 4/ ( 5- = - 4/( - 3 ) = 4/3


cos 2a = 1/sec 2a = 1/( \/tg² 2a + 1 ) = 1/( \/ (4/3)² + 1 ) = 3/5

sen a = \/ (1 - cos 2a)/2 = \/ ( [1 – (3/5)]/2 = 1/\/5

cos a = \/[1 + cos 2a )/2 = 2/\/5

as equações de transformação para rotação são, então:

x = x’ * cos a – y’ sen a = ( 2x’ – y’ )/\/5

y = x’ *sen a + y’*cos a = ( x’ + 2y’ )/\/5

substituindo em

5x² - 4xy + 8y² + ( 20/\/5)x – ( 80/\/5)y + 4 = 0

5*[ ( 2x’ – y’)/\/5 ]² - 4*[ (2x’ – y’)/\/5 ]*[ ( x’ + 2y’)/\/5 ] +

+ 8*[ (x’ + 2y’ )/\/5 ]² + (20/\/5)*( 2x’ – y’ )/\/5 – ( 80/\/5)*( x’ + 2y’ )/\/5 + 4 = 0

Após simplificação temos:


10 x’² + 16 x’ + 13 y’² + 70 y’ + 10 = 0

daí podemos chegar à equação da cônica através da complementação dos quadrados.

Jose Carlos , obg pela excelente explicação.


Mas a minha dúvida mesmo era pra identificar qual o metódo que foi usado no livro do Reginaldo J.Santos na resolução dessa questão, da forma que tu me mostrou eu entendi perfeitamente inclusive já utilizava. Enfim, de qualquer forma muito obrigado.