Equação trigonométrica

por JEABM Seg 23 Abr 2018, 13:04

a soma das solucoes da equacao senx.cosx + 1/2(senx-sen5x) = 0, no intervalo (0,pi), é igual a:
N tenho o gab

Grato

por **Elcioschin** Seg 23 Abr 2018, 18:03

Usando Prostaférese:

senx - sen(5.x) = senx + sen(-5.x) = 2.sen[(x - 5.x)/2].cos[(x + 5.x)/2]

senx - sen(5.x) = 2.sen(-2.x).cos(3.x) = - 2.sen(2.x).cos(3.x)

senx.cosx + (1/2).[senx - sen(5.x)] = 0 --->

(2.senx.cosx)/2 + (1/2).[- 2.sen(2.x).cos3.x)] = 0

(1/2).sen(2.x) - sen(2.x).cos(3.x) = 0

sen(2.x).[1/2 - cos(3.x)] = 0 --> temos duas possibilidades:

1) sen(2.x) = 0 ---> 2.x = 0 ---> x = 0 e 2.x = pi ---> x = pi/2

2) 1/2 - cos(3.x) = 0 ---> cos(3.x) = 1/2 ---> 3.x = pi/3 ---> x = pi/9

por JEABM Qua 25 Abr 2018, 15:56

Pq sen(-2x) = -sen2x?

por **Elcioschin** Qua 25 Abr 2018, 18:36

Seja θ um ângulo do 1º quadrante ---> senθ > 0 --->
-θ é um ângulo do 4º quadrante ---> sen(-θ) = - senθ < 0

por JEABM Qui 26 Abr 2018, 06:15

Mas como o intervalo está no intervalo (0,pi) n seria positivo? 2 quadrante? Grato

por JEABM Qui 26 Abr 2018, 12:26

Eu multipliquei tudo por 2...

Ficou 2 senx.cosx + senx -sen5x = 0
Sen 2x + 2 sen (-2x).cos(3x) = 0
Como está no 2 quadrante o sen x é positivo e cos x negativo.
Sen(-2x) = sen 2x

Sen2x(1 + 2cos3x) = 0

Para sen2x = 0, temos:
X= 0, pi/2 e pi

Para 1+ cos3x = 0, temos:
Cos3x = -1/2
3x = (2pi)/3
X= (2pi)/9

Soma das soluções:
Pi/ 2 + pi + 2pi/9

31pi/18

Poderia verificar se falei besteira mestre grato

por **Elcioschin** Sex 27 Abr 2018, 09:09

O intervalo da solução é (0, pi)

Eu multipliquei tudo por 2...

Ficou 2 senx.cosx + senx -sen5x = 0
Sen 2x + 2 sen (-2x).cos(3x) = 0
Como está no 2 quadrante o sen x é positivo e cos x negativo.

Com base em que você pode afirmar "Como está no 2º quadrante" ?
Poderia estar também no 1º quadrante !!!

Obs.: A igualdade - senθ = sen(-θ) é válida para qualquer ângulo θ (de qualquer quadrante).
É uma relação básica da Trigonometria assim como outra: cosθ = cos(-θ)

por JEABM Sex 27 Abr 2018, 12:27

Desculpe minha ignorância....estou tentando achar no Google alguma dedução desse conceito e n encontrei. Entendi q o senhor disse...sen (-x) = -sen x e cos (-x) = cos x..teria algum site, livro ou pdf p me mostrar a dedução disso? Grato mestre

por **Elcioschin** Sex 27 Abr 2018, 18:55

Qualquer livro/apostila de trigonometria tem estas relações básicas.
Veja "O ciclo trigonométrico - Trigonometria da 1ª volta"

Basta lembrar o seno é positivo no 1º e 2º quadrantes, logo ele é negativo no 3º e 4º quadrantes

Assim se o ângulo vale 30º ---> sen30º = 1/2 ---> sen(-30) = sen330º = - 1/2

Quanto ao cosseno, ele e positivo no 1º e 4º quadrantes, logo, é negativo no 2º e 4º quadrantes.

Se o ângulo for 30º ---> cos30º = √3/2 ---> cos(-30º) = cos330º = √3/2

por **Giovana Martins** Sex 27 Abr 2018, 19:26

Só para complementar: procure por "paridade de funções". Por definição, uma função ímpar é aquela que satisfaz a igualdade f(-x)=-f(x). A função seno é uma função ímpar, motivo pelo qual sen(-x)=-sen(x). Também por definição, uma função par é aquela que satisfaz a igualdade f(-x)=f(x). A função cosseno é uma função par, motivo pelo qual cos(-x)=cos(x).