Irracionalidade de ''e''
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Irracionalidade de ''e''
por Willian Honorio Qui 19 Abr 2018, 19:09
A Constante de Euler é, por definição, a assíntota horizontal da função:
^{x} "y=\left (1+\frac{1}{x} \right )^{x}")
Isto é:
^{x}=e\cong&space;2,71828182... "\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\left (1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e\cong 2,71828182...")
Esse número é comumente empregado como base dos Logaritmo Naturais estudados por John Napier:
A Constante de Euler é um número irracional, e hoje, provarei este postulado. De antemão, é necessário o conhecimento das Fórmulas de Taylor, já demonstradas aqui no Fórum Pir2 no seguinte tópico: Potências Complexas.
Suponhamos que existam dois inteiros positivos, não nulos e primos entre si tal que (m/n)=e, logo:
Multiplicando ambos os membros por n! e manipulando:
!=\left&space;(&space;\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+...+\frac{n!}{n!}&space;\right&space;)+\left&space;[&space;\frac{n!}{(n+1)!}+\frac{n!}{(n+2)!}&space;+...\right&space;]\\\\=\left&space;(&space;\frac{n!}{1!}+...+\frac{n!}{n!}&space;\right&space;)+\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+... "\frac{m}{n}.n!=n!.\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\\\\m.(n-1)!=\left ( \frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+...+\frac{n!}{n!} \right )+\left [ \frac{n!}{(n+1)!}+\frac{n!}{(n+2)!} +...\right ]\\\\=\left ( \frac{n!}{1!}+...+\frac{n!}{n!} \right )+\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+...")
É fácil perceber que:
}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...<&space;\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+...\\\\\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{3}}+...=\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}\,\,\,\,\left&space;(\text{Soma&space;de&space;PG&space;infinita}&space;\right&space;)\\\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{3}}+...=\frac{1}{n}\leq&space;1 "\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...< \frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+...\\\\\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{3}}+...=\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}\,\,\,\,\left (\text{Soma de PG infinita} \right )\\\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{3}}+...=\frac{1}{n}\leq 1")
Agora:
!-\left&space;(&space;\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+...+\frac{n!}{n!}&space;\right&space;)=\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+... "m.(n-1)!-\left ( \frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+...+\frac{n!}{n!} \right )=\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...")
Sendo m e n inteiros, m(n-1)! deve ser inteiro e (n!/1!+n!/2!+...+n!/n!) também deve ser inteiro. Sabe-se que a diferença entre os dois elementos também deve ser inteiro. Entretanto, como vimos, o membro do lado direito é menor ou igual a 1 e sabendo que 1 não é primo (pelo Teorema Fundamental da Aritmética), segue que a hipótese inicial é absurda, pois nunca teremos a diferença entre dois inteiros resultando num número racional. Por contradição, ''e'' é um número irracional.
CQD
Isto é:
Esse número é comumente empregado como base dos Logaritmo Naturais estudados por John Napier:
A Constante de Euler é um número irracional, e hoje, provarei este postulado. De antemão, é necessário o conhecimento das Fórmulas de Taylor, já demonstradas aqui no Fórum Pir2 no seguinte tópico: Potências Complexas.
Suponhamos que existam dois inteiros positivos, não nulos e primos entre si tal que (m/n)=e, logo:
Multiplicando ambos os membros por n! e manipulando:
É fácil perceber que:
Agora:
Sendo m e n inteiros, m(n-1)! deve ser inteiro e (n!/1!+n!/2!+...+n!/n!) também deve ser inteiro. Sabe-se que a diferença entre os dois elementos também deve ser inteiro. Entretanto, como vimos, o membro do lado direito é menor ou igual a 1 e sabendo que 1 não é primo (pelo Teorema Fundamental da Aritmética), segue que a hipótese inicial é absurda, pois nunca teremos a diferença entre dois inteiros resultando num número racional. Por contradição, ''e'' é um número irracional.
CQD
Willian Honorio- Matador
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