Irracionalidade de ''e''

por **Willian Honorio** Qui 19 Abr 2018, 19:09

A Constante de Euler é, por definição, a assíntota horizontal da função:
$y=\left (1+\frac{1}{x} \right )^{x}$
Isto é:
$\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\left (1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e\cong 2,71828182...$

Esse número é comumente empregado como base dos Logaritmo Naturais estudados por John Napier:
$\log_{e}x=\ln x$

A Constante de Euler é um número irracional, e hoje, provarei este postulado. De antemão, é necessário o conhecimento das Fórmulas de Taylor, já demonstradas aqui no Fórum Pir2 no seguinte tópico: Potências Complexas.

$e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...\\\therefore \\\\e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$

Suponhamos que existam dois inteiros positivos, não nulos e primos entre si tal que (m/n)=e, logo:

$\frac{m}{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$

Multiplicando ambos os membros por n! e manipulando:

$\frac{m}{n}.n!=n!.\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\\\\m.(n-1)!=\left ( \frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+...+\frac{n!}{n!} \right )+\left [ \frac{n!}{(n+1)!}+\frac{n!}{(n+2)!} +...\right ]\\\\=\left ( \frac{n!}{1!}+...+\frac{n!}{n!} \right )+\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+...$

É fácil perceber que:

$\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...< \frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+...\\\\\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{3}}+...=\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}\,\,\,\,\left (\text{Soma de PG infinita} \right )\\\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{3}}+...=\frac{1}{n}\leq 1$

Agora:

$m.(n-1)!-\left ( \frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+...+\frac{n!}{n!} \right )=\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...$

Sendo m e n inteiros, m(n-1)! deve ser inteiro e (n!/1!+n!/2!+...+n!/n!) também deve ser inteiro. Sabe-se que a diferença entre os dois elementos também deve ser inteiro. Entretanto, como vimos, o membro do lado direito é menor ou igual a 1 e sabendo que 1 não é primo (pelo Teorema Fundamental da Aritmética), segue que a hipótese inicial é absurda, pois nunca teremos a diferença entre dois inteiros resultando num número racional. Por contradição, ''e'' é um número irracional.

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