Irracionalidade de ''e''
PiR2 :: Recursos extras :: Demonstrações
Página 1 de 1
Irracionalidade de ''e''
A Constante de Euler é, por definição, a assíntota horizontal da função:
Isto é:
^{x}=e\cong&space;2,71828182...)
Esse número é comumente empregado como base dos Logaritmo Naturais estudados por John Napier:

A Constante de Euler é um número irracional, e hoje, provarei este postulado. De antemão, é necessário o conhecimento das Fórmulas de Taylor, já demonstradas aqui no Fórum Pir2 no seguinte tópico: Potências Complexas.

Suponhamos que existam dois inteiros positivos, não nulos e primos entre si tal que (m/n)=e, logo:

Multiplicando ambos os membros por n! e manipulando:
![\frac{m}{n}.n!=n!.\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\\\\m.(n-1)!=\left ( \frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+...+\frac{n!}{n!} \right )+\left [ \frac{n!}{(n+1)!}+\frac{n!}{(n+2)!} +...\right ]\\\\=\left ( \frac{n!}{1!}+...+\frac{n!}{n!} \right )+\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+...](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{m}{n}.n!=n!.\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\\\\m.(n-1)!=\left&space;(&space;\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+...+\frac{n!}{n!}&space;\right&space;)+\left&space;[&space;\frac{n!}{(n+1)!}+\frac{n!}{(n+2)!}&space;+...\right&space;]\\\\=\left&space;(&space;\frac{n!}{1!}+...+\frac{n!}{n!}&space;\right&space;)+\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+...)
É fácil perceber que:
}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...<&space;\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+...\\\\\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{3}}+...=\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}\,\,\,\,\left&space;(\text{Soma&space;de&space;PG&space;infinita}&space;\right&space;)\\\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{3}}+...=\frac{1}{n}\leq&space;1)
Agora:
!-\left&space;(&space;\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+...+\frac{n!}{n!}&space;\right&space;)=\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...)
Sendo m e n inteiros, m(n-1)! deve ser inteiro e (n!/1!+n!/2!+...+n!/n!) também deve ser inteiro. Sabe-se que a diferença entre os dois elementos também deve ser inteiro. Entretanto, como vimos, o membro do lado direito é menor ou igual a 1 e sabendo que 1 não é primo (pelo Teorema Fundamental da Aritmética), segue que a hipótese inicial é absurda, pois nunca teremos a diferença entre dois inteiros resultando num número racional. Por contradição, ''e'' é um número irracional.
CQD
Isto é:
Esse número é comumente empregado como base dos Logaritmo Naturais estudados por John Napier:
A Constante de Euler é um número irracional, e hoje, provarei este postulado. De antemão, é necessário o conhecimento das Fórmulas de Taylor, já demonstradas aqui no Fórum Pir2 no seguinte tópico: Potências Complexas.
Suponhamos que existam dois inteiros positivos, não nulos e primos entre si tal que (m/n)=e, logo:
Multiplicando ambos os membros por n! e manipulando:
É fácil perceber que:
Agora:
Sendo m e n inteiros, m(n-1)! deve ser inteiro e (n!/1!+n!/2!+...+n!/n!) também deve ser inteiro. Sabe-se que a diferença entre os dois elementos também deve ser inteiro. Entretanto, como vimos, o membro do lado direito é menor ou igual a 1 e sabendo que 1 não é primo (pelo Teorema Fundamental da Aritmética), segue que a hipótese inicial é absurda, pois nunca teremos a diferença entre dois inteiros resultando num número racional. Por contradição, ''e'' é um número irracional.
CQD

Willian Honorio- Matador
- Mensagens : 1271
Data de inscrição : 27/04/2016
Idade : 26
Localização : São Paulo
pedrohadc gosta desta mensagem
PiR2 :: Recursos extras :: Demonstrações
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|