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Irracionalidade de ''e''

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Irracionalidade de ''e'' Empty Irracionalidade de ''e''

Mensagem por Willian Honorio Qui 19 Abr 2018, 19:09

A Constante de Euler é, por definição, a assíntota horizontal da função:  
  
Isto é: 


 Esse número é comumente empregado como base dos Logaritmo Naturais estudados por John Napier:


A Constante de Euler é um número irracional, e hoje, provarei este postulado. De antemão, é necessário o conhecimento das Fórmulas de Taylor, já demonstradas aqui no Fórum Pir2 no seguinte tópico: Potências Complexas.



Suponhamos que existam dois inteiros positivos, não nulos e primos entre si tal que (m/n)=e, logo:



Multiplicando ambos os membros por n! e manipulando:



É fácil perceber que:



Agora:



Sendo m e n inteiros, m(n-1)! deve ser inteiro e (n!/1!+n!/2!+...+n!/n!) também deve ser inteiro. Sabe-se que a diferença entre os dois elementos também deve ser inteiro. Entretanto, como vimos, o membro do lado direito é menor ou igual a 1 e sabendo que 1 não é primo (pelo Teorema Fundamental da Aritmética), segue que a hipótese inicial é absurda, pois nunca teremos a diferença entre dois inteiros resultando num número racional. Por contradição, ''e'' é um número irracional.

CQD  Very Happy
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