Derivada de Senx

por Kaminii Qua 28 Mar 2018, 23:26

Como calcular a derivada de senx?

por **Elcioschin** Qui 29 Mar 2018, 00:08

A derivada de senx é cosx ---> y = senx ---> y' = cosx

A derivada de cosx é - senx ---> y = cosx ---> y' = - senx

por **Willian Honorio** Qui 29 Mar 2018, 15:21

Não me lembro ao certo se é possível calcular a derivada da função seno sem antes demonstrar o limite fundamental de (senx)/x=1 quando x se aproxima de 0. Para driblar esse impasse, adotarei o limite citado como axioma.

$f'(x)=\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta h)-f(x)}{\Delta h}\\\\f(x)=\sin x\\\\f'(x)=\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{\sin (x+\Delta h)-\sin (x)}{\Delta h}=\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{\sin x.\cos \Delta h+\sin \Delta h.\cos x-\sin x}{\Delta h}\\\\\\=\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{\sin x(\cos \Delta h-1)+\sin \Delta h.\cos x}{\Delta h}=\sin x.\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{\cos \Delta h-1}{\Delta h}+\cos x.\underbrace{\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{\sin \Delta h}{\Delta h}}_{=1}\\\\=\sin x.\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{\cos\Delta h-1}{\Delta h}+\cos x$

O limite da última linha leva a indeterminação 0/0 que pode ser levantada pela utilização de relações trigonométricas clássicas:

$\sin^{2}\Delta h+\cos^{2}\Delta h=1\\\\\cos\Delta h-1=\frac{-\sin^{2}\Delta h}{1+\cos \Delta h}\\\\f'(x)=\sin x.\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{-\sin^{2}\Delta h}{\Delta h(1+\cos \Delta h)}+\cos x\\\\\\=-\sin x.\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{\sin\Delta h}{\Delta h}.\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{\sin\Delta h}{1+\cos \Delta h}+\cos x=(-\sin x).1.0+\cos x\\\\\therefore \\\\\boxed{f(x)=\sin x\Rightarrow f'(x)=\cos x}$

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