Cálculo de derivada pela definição

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Cálculo de derivada pela definição

Mensagem por Eduardo Sicale em Seg Mar 12 2018, 18:22

Seja f(x) = e^(-1/x²), se x diferente de 0, e 0 se x = 0.

Use a definição de derivada para calcular f´(0).

Fiz assim:

f´(x) = lim h-->0 de (e^(-1/(x+h)²) - e^(-1/x²))/h = 

lim h -->0 de (e^(menos infinito) - e^(menos infinito))/h = 0/h = 0

O gabarito diz ser o resultado igual a zero, mas só queria saber se essa forma de resolver e escrever está correta. 

Obrigado !
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Re: Cálculo de derivada pela definição

Mensagem por Eduardo Sicale em Ter Mar 13 2018, 15:02

Ou será que a forma correta de escrever é assim:

f(x) = e^(-1/x²)

Pela definição de derivada:

f´(x) = lim h-->0 (e^(-1/(x+h)²) - e^(-1/x²))/h

Aplicando L´Hospital:

lim h-->0 (e^(-1/(x+h)²)*2/(x+h)³ - e^(-1/x²)*2/x³)/1

lim h-->0 (2*e^(-1/(x+h)²))/(x+h)³ - (2*e^(-1/x²))/x³

f´(x) = (2*e^(-1/x²)/x³) - (2*e^(-1/x²)/x³) = 0

f´(0) = 0 

Mas aí f´(1), f´(2), f´(3), e etc, dão zero. 

Também fiz assim:

y = e^(-1/x²)

lny = ln(e^(-1/x²)) = (-1/x²)*lne = -1/x²

lim x-->0 (-1/x²) = infinito negativo

lim x-->0 de y = lim x-->0 de e^lny = e^(infinito negativo) = 0
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