[UNICAMP]Somatório

por biologiaéchato Sex 23 Fev 2018, 22:31

[UNICAMP]Seja a≠-1 um número complexo tal que aⁿ=1, onde n é um número inteiro positivo.Prove que se n for par, a expressão 1-a+a²-a³+...+(-a)ⁿ é igual a 1; e, se n for ímpar, essa expressão é igual á [(1-a)/(1+a)].

por **gilberto97** Sáb 24 Fev 2018, 01:05

Boa noite.

1-a+a²-a³+...+(-a)^n constitui uma PG de razão -a e n+1 elementos. Sua soma será

S = ((-a)^(n+1)-1)/(-a-1)

... indo para o LaTeX...

$[UNICAMP]Somatório Gif$

I. n par

Nesse caso, n+1 é ímpar, logo (-1)^(n+1) = -1.

$[UNICAMP]Somatório Gif.latex?S%20%3D%20-%5Cfrac%7B-a%5E%7Bn+1%7D-1%7D%7B1+a%7D%3D%5Cfrac%7Ba%5En$

II. n ímpar

Nesse caso, n+1 é par. Fica fácil ver que S toma a forma

$[UNICAMP]Somatório Gif.latex?S%20%3D%20-%5Cfrac%7Ba%5E%7Bn+1%7D-1%7D%7B1+a%7D%3D-%5Cfrac%7Ba%5E%7Bn%7D$ .

Bons estudos.

por biologiaéchato Sáb 24 Fev 2018, 08:39

Muito obrigado pela sua ajuda, Gilberto.
Só tenho uma pergunta, para fazer a soma dos termos, você usou essa fórmula(pelo que sei há outras)?

S_N=[(a₁*(1-q^N))/(1-q)]

por **gilberto97** Sáb 24 Fev 2018, 14:02

Sim, a equação da soma dos termos de uma PG.

por biologiaéchato Sáb 24 Fev 2018, 19:36

gilberto97 escreveu:Boa noite.

1-a+a²-a³+...+(-a)^n constitui uma PG de razão -a e n+1 elementos. Sua soma será

S = ((-a)^(n+1)-1)/(-a-1)

... indo para o LaTeX...

$[UNICAMP]Somatório Gif$

I. n par

Nesse caso, n+1 é ímpar, logo (-1)^(n+1) = -1.

$[UNICAMP]Somatório Gif.latex?S%20%3D%20-%5Cfrac%7B-a%5E%7Bn+1%7D-1%7D%7B1+a%7D%3D%5Cfrac%7Ba%5En$

II. n ímpar

Nesse caso, n+1 é par. Fica fácil ver que S toma a forma

$[UNICAMP]Somatório Gif.latex?S%20%3D%20-%5Cfrac%7Ba%5E%7Bn+1%7D-1%7D%7B1+a%7D%3D-%5Cfrac%7Ba%5E%7Bn%7D$ .

Bons estudos.

Não consegui entender como você "montou" essa fórmula da soma dos termos.

Nesse caso, quais seriam a₁, 1-q^(n) e (1-q)?

por biologiaéchato Dom 25 Fev 2018, 16:25

Alguém pode me ajudar?

por **gilberto97** Dom 25 Fev 2018, 17:26

Duduu2525 escreveu:Muito obrigado pela sua ajuda, Gilberto.
Só tenho uma pergunta, para fazer a soma dos termos, você usou essa fórmula(pelo que sei há outras)?

S_N=[(a₁*(1-q^N))/(1-q)]

a1 = 1, q = -a, N = n+1

por biologiaéchato Seg 26 Fev 2018, 11:29

Obrigado!

por hrdias Qui 30 Abr 2020, 21:41

gilberto97 escreveu:

I. n par

Nesse caso, n+1 é ímpar, logo (-1)^(n+1) = -1.

$[UNICAMP]Somatório Gif.latex?S%20%3D%20-%5Cfrac%7B-a%5E%7Bn+1%7D-1%7D%7B1+a%7D%3D%5Cfrac%7Ba%5En$

II. n ímpar

Nesse caso, n+1 é par. Fica fácil ver que S toma a forma

$[UNICAMP]Somatório Gif.latex?S%20%3D%20-%5Cfrac%7Ba%5E%7Bn+1%7D-1%7D%7B1+a%7D%3D-%5Cfrac%7Ba%5E%7Bn%7D$ .

Boa noite! Alguém saberia me explicar o porquê a^n sumiu das frações?