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Mensagem por jota-r em Sex Fev 09 2018, 15:49

Olá.

Qual o montante de 9 aplicações feitas a juros simples de 2,5% a.m., realizadas no final de cada período, sabendo-se que a 
primeira é  de $ 8.000,00 e as demais de valores crescentes, à razão de 1.000,00?

R.: 117.300,00


Um abraço.

jota-r
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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Dom Fev 11 2018, 10:58

jota-r, bom dia.

Tens certeza de que este gabarito está certo? Não seria 118.000,00?

Aguardo sua resolução.

Sds.

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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por jota-r em Dom Fev 11 2018, 11:53

@Luiz 2017 escreveu:jota-r, bom dia.

Tens certeza de que este gabarito está certo? Não seria 118.000,00?

Aguardo sua resolução.

Sds.
Boa tarde, Luiz.

Conf. seu pedido, segue resolução:

Dados: n = 9; i = 2,5% a.m.; p = 8000; G = 1000; FV = ?

Fórmula:
FV = (np)/2*[2 + i*(n-1)] + [n*(n-1)*G]/6*[3  + i*(n-2)]

Apropriando os dados na fórmula, temos:

FV = (9*8000)/2*[2 + 0,025*(9-1)] + [9*(9-1)*1000]/6*[3  + 0,025*(9-2)]
---->
FV = 36000,00*[2 + 0,025*8] + [9*8*1000]/6*[3  + 0,025*7]
---->
FV = 36000,00*2,20 + 12000,00*3,175
---->
FV = 79200 + 38100
---->
FV = 117.300,00---->resposta

Um abraço

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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Dom Fev 11 2018, 19:17

@jota-r escreveu:
Olá.

Qual o montante de 9 aplicações feitas a juros simples de 2,5% a.m., realizadas no final de cada período, sabendo-se que a primeira é  de $ 8.000,00 e as demais de valores crescentes, à razão de 1.000,00?

R.: 117.300,00

Um abraço.



jota-r, eis a solução definitiva:

Já foi demonstrado aqui https://pir2.forumeiros.com/t144477-fator-de-valor-atual-serie-constante#508638 que a expressão geral para cálculo do valor futuro de séries financeiras uniformes de parcelas consecutivas e postecipadas, a ser quitada em "n" períodos iguais de tempo, sob o regime de juros compostos "i", é:

FV = PMT\cdot\Big[(1+i)^0 + (1+i)^1 + (1+i)^2 + (1+i)^3 + (1+i)^4 + ... + (1+i)^{n-1}\Big]

Por analogia, a expressão geral para cálculo do valor futuro de séries financeiras uniformes de parcelas consecutivas e postecipadas, a ser quitada em "n" períodos iguais de tempo, sob o regime de juros simples "i", será:

\small{FV = PMT\cdot\Big[(1+0i) + (1+1i) + (1+2i) + (1+3i) + (1+4i) + ... + (1+(n-1)i)\Big]}

\frac{FV}{PMT} = \Big[1+0i + 1+1i + 1+2i + 1+3i + 1+4i + ... + 1+(n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + \Big[0i + 1i + 2i + 3i + 4i + ... + (n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \Big[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)\Big]

Aqui cabe uma observação:

\Big[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)\Big] = \frac{n^2-n}{2}

Substituindo este valor na equação anterior:

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}

Portanto:

\boxed{FV = PMT \cdot \left[n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}\right]}                                                                (1)

A eq. (1) representa a expressão que atualiza para a data final (data do término da operação), ou o valor futuro (FV), ou montante, a ser quitado ou acumulado mediante uma série uniforme de prestações ou depósitos, a ser realizada ao longo de (n) períodos iguais e consecutivos de tempo, sob o regime de juros simples (i).

Por outro lado, uma série financeira é dita estar em progressão aritmética crescente, quando o conjunto de suas parcelas, pagamentos ou recebimentos, se caracteriza por um crescimento em progressão aritmética, qual seja, quando a diferença entre duas parcelas consecutivas é constante e recebe a denominação de "razão" ou "gradiente". Normalmente a razão é representada por "G" e o primeiro termo por "p", notação esta que aqui será adotada.

Assim, o primeiro termo da série tem o valor "p", o segundo "p+G", o terceiro "p+2G", o quarto "p+3G" e assim sucessivamente até o último termo com valor "p+(n-1)G", onde "n" é o número de parcelas da série.



Desta forma, então, o que se observa é que a série em progressão pode ser desmembrada em "n" séries uniformes.

Portanto, se aplicada a eq. (1) acima a cada um dos termos da série postecipada em progressão, separadamente, e somados, obtém-se:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\left[(n-1) +i\cdot\frac{(n-1)^2-(n-1)}{2}\right]}
\small{\;+\; G\left[(n-2) +i\cdot\frac{(n-2)^2-(n-2)}{2}\right] + ... + G\left[(1) +i\cdot\frac{(1)^2-(1)}{2}\right]}

Colocando G em evidência:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\Big[ (n-1) +i\cdot\frac{(n-1)^2-(n-1)}{2}}
\small{\;+\;(n-2)+i\cdot\frac{(n-2)^2-(n-2)}{2} + ... + (1) +i\cdot\frac{(1)^2-(1)}{2}\Big]}

Colocando i/2 em evidência:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\Big\{\Big[ (n-1) + (n-2) + ... + (1)\Big]}
\small{\; +\; \frac{i}{2} \Big[ (n-1)^2 +(n-2)^2 + ...+ (1)^2\Big] - \frac{i}{2}\Big[(n-1) - (n-2) - ... - (1)\Big] \Big\}}

Aqui cabem duas observações:

\text{1) }\Big[(n-1) + (n-2) + ... + (1)\Big] = \frac{1}{2}\cdot(n-1)\cdot n

\text{2) }\Big[(n-1)^2 + (n-2)^2 + ... + (1)^2\Big] = \frac{1}{6}\cdot(n-1)\cdot n \cdot (2n-1)

Substituindo estes valores na equação anterior:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\Big\{\Big[\frac{1}{2}\cdot(n-1)\cdot n\Big] + \frac{i}{2} \Big[\frac{1}{6}\cdot(n-1)\cdot n \cdot (2n-1)\Big] - \frac{i}{2}\Big[\frac{1}{2}\cdot(n-1)\cdot n\Big] \Big\}}

Simplificando:

\boxed{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\cdot\frac{n^2-n}{2}\Big[1 +\frac{1}{3}\cdot(n-2)\Big]}                                (2)

A eq. (2) corresponde à expressão que atualiza para a data final (data do término da operação), ou o valor futuro (FV), ou montante, a ser quitado ou acumulado mediante uma série de prestações ou depósitos em progressão aritmética crescente, de razão (G), a ser realizada ao longo de (n) períodos iguais e consecutivos de tempo, sob o regime de juros simples (i), tendo (p) como primeira parcela.

E se a série for em progressão aritmética decrescente, a fórmula  do valor futuro é:

\boxed{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] - G\cdot\frac{n^2-n}{2}\Big[1 +\frac{1}{3}\cdot(n-2)\Big]}                                (3)

Note-se que a diferença entre a série crescente e a decrescente é apenas o sinal do gradiente.

Com:

i = 0,025 a.m.
p = 8.000,00
G = 1.000,00
n = 9
FV = ?

Substituindo estes valores na eq. (2):

FV = 8000\left[9+0,025\cdot\frac{9^2-9}{2}\right] + 1000\cdot\frac{9^2-9}{2}\Big[1 +\frac{1}{3}\cdot(9-2)\Big]

FV = 79200 + 38100

\boxed{FV = \$\;117.300,00}

jota-r, espero ter contribuído com mais duas fórmulas.

Sds.


Última edição por Luiz 2017 em Dom Fev 11 2018, 20:32, editado 2 vez(es)

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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por baltuilhe em Dom Fev 11 2018, 19:58

Curti! Very Happy

Só pra simplificar a fórmula:
FV = \dfrac{ n \cdot P }{ 2 } \cdot \left[ 2 + i \cdot \left( n - 1 \right) \right] + \dfrac{ G } { 6 } \cdot \left[ \left( n - 1 \right) \cdot n \cdot \left( n + 1 \right) \right]

ou

FV = \dfrac{ n \cdot P }{ 2 } \cdot \left[ 2 + i \cdot \left( n - 1 \right) \right] + \dfrac{ n \cdot G } { 6 } \cdot \left( n^2 - 1 \right)

Espero também ter ajudado!

Obs.: Adorei as deduções! Smile
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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por jota-r em Qui Fev 15 2018, 12:49

@Luiz 2017 escreveu:
@jota-r escreveu:
Olá.

Qual o montante de 9 aplicações feitas a juros simples de 2,5% a.m., realizadas no final de cada período, sabendo-se que a primeira é  de $ 8.000,00 e as demais de valores crescentes, à razão de 1.000,00?

R.: 117.300,00

Um abraço.



jota-r, eis a solução definitiva:

Já foi demonstrado aqui https://pir2.forumeiros.com/t144477-fator-de-valor-atual-serie-constante#508638 que a expressão geral para cálculo do valor futuro de séries financeiras uniformes de parcelas consecutivas e postecipadas, a ser quitada em "n" períodos iguais de tempo, sob o regime de juros compostos "i", é:

FV = PMT\cdot\Big[(1+i)^0 + (1+i)^1 + (1+i)^2 + (1+i)^3 + (1+i)^4 + ... + (1+i)^{n-1}\Big]

Por analogia, a expressão geral para cálculo do valor futuro de séries financeiras uniformes de parcelas consecutivas e postecipadas, a ser quitada em "n" períodos iguais de tempo, sob o regime de juros simples "i", será:

\small{FV = PMT\cdot\Big[(1+0i) + (1+1i) + (1+2i) + (1+3i) + (1+4i) + ... + (1+(n-1)i)\Big]}

\frac{FV}{PMT} = \Big[1+0i + 1+1i + 1+2i + 1+3i + 1+4i + ... + 1+(n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + \Big[0i + 1i + 2i + 3i + 4i + ... + (n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \Big[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)\Big]

Aqui cabe uma observação:

\Big[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)\Big] = \frac{n^2-n}{2}

Substituindo este valor na equação anterior:

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}

Portanto:

\boxed{FV = PMT \cdot \left[n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}\right]}                                                                (1)

A eq. (1) representa a expressão que atualiza para a data final (data do término da operação), ou o valor futuro (FV), ou montante, a ser quitado ou acumulado mediante uma série uniforme de prestações ou depósitos, a ser realizada ao longo de (n) períodos iguais e consecutivos de tempo, sob o regime de juros simples (i).

Por outro lado, uma série financeira é dita estar em progressão aritmética crescente, quando o conjunto de suas parcelas, pagamentos ou recebimentos, se caracteriza por um crescimento em progressão aritmética, qual seja, quando a diferença entre duas parcelas consecutivas é constante e recebe a denominação de "razão" ou "gradiente". Normalmente a razão é representada por "G" e o primeiro termo por "p", notação esta que aqui será adotada.

Assim, o primeiro termo da série tem o valor "p", o segundo "p+G", o terceiro "p+2G", o quarto "p+3G" e assim sucessivamente até o último termo com valor "p+(n-1)G", onde "n" é o número de parcelas da série.



Desta forma, então, o que se observa é que a série em progressão pode ser desmembrada em "n" séries uniformes.

Portanto, se aplicada a eq. (1) acima a cada um dos termos da série postecipada em progressão, separadamente, e somados, obtém-se:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\left[(n-1) +i\cdot\frac{(n-1)^2-(n-1)}{2}\right]}
\small{\;+\; G\left[(n-2) +i\cdot\frac{(n-2)^2-(n-2)}{2}\right] + ... + G\left[(1) +i\cdot\frac{(1)^2-(1)}{2}\right]}

Colocando G em evidência:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\Big[ (n-1) +i\cdot\frac{(n-1)^2-(n-1)}{2}}
\small{\;+\;(n-2)+i\cdot\frac{(n-2)^2-(n-2)}{2} + ... + (1) +i\cdot\frac{(1)^2-(1)}{2}\Big]}

Colocando i/2 em evidência:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\Big\{\Big[ (n-1) + (n-2) + ... + (1)\Big]}
\small{\; +\; \frac{i}{2} \Big[ (n-1)^2 +(n-2)^2 + ...+ (1)^2\Big] - \frac{i}{2}\Big[(n-1) - (n-2) - ... - (1)\Big] \Big\}}

Aqui cabem duas observações:

\text{1) }\Big[(n-1) + (n-2) + ... + (1)\Big] = \frac{1}{2}\cdot(n-1)\cdot n

\text{2) }\Big[(n-1)^2 + (n-2)^2 + ... + (1)^2\Big] = \frac{1}{6}\cdot(n-1)\cdot n \cdot (2n-1)

Substituindo estes valores na equação anterior:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\Big\{\Big[\frac{1}{2}\cdot(n-1)\cdot n\Big] + \frac{i}{2} \Big[\frac{1}{6}\cdot(n-1)\cdot n \cdot (2n-1)\Big] - \frac{i}{2}\Big[\frac{1}{2}\cdot(n-1)\cdot n\Big] \Big\}}

Simplificando:

\boxed{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\cdot\frac{n^2-n}{2}\Big[1 +\frac{1}{3}\cdot(n-2)\Big]}                                (2)

A eq. (2) corresponde à expressão que atualiza para a data final (data do término da operação), ou o valor futuro (FV), ou montante, a ser quitado ou acumulado mediante uma série de prestações ou depósitos em progressão aritmética crescente, de razão (G), a ser realizada ao longo de (n) períodos iguais e consecutivos de tempo, sob o regime de juros simples (i), tendo (p) como primeira parcela.

E se a série for em progressão aritmética decrescente, a fórmula  do valor futuro é:

\boxed{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] - G\cdot\frac{n^2-n}{2}\Big[1 +\frac{1}{3}\cdot(n-2)\Big]}                                (3)

Note-se que a diferença entre a série crescente e a decrescente é apenas o sinal do gradiente.

Com:

i = 0,025 a.m.
p = 8.000,00
G = 1.000,00
n = 9
FV = ?

Substituindo estes valores na eq. (2):

FV = 8000\left[9+0,025\cdot\frac{9^2-9}{2}\right] + 1000\cdot\frac{9^2-9}{2}\Big[1 +\frac{1}{3}\cdot(9-2)\Big]

FV = 79200 + 38100

\boxed{FV = \$\;117.300,00}

jota-r, espero ter contribuído com mais duas fórmulas.

Sds.
Olá.

Essas "Observações" não precisam ser demonstradas?

Sds.

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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Qui Fev 15 2018, 13:32

@jota-r escreveu:
Olá.

Essas "Observações" não precisam ser demonstradas?

Sds.



jota-r, boa tarde.

Não comentei anteriormente porque achei que seria desnecessário. Mas faço isto agora  com prazer.

A 1ª observação é ginasial: a série (n-k), com k=1,2,3,...,n-1 é uma PA de razão 1.

A 2ª observação é que a série (n-k)2, com k=1,2,3,..,n-1 não é PA nem PG. Portanto se ficar fazendo continhas manuais e não recorrer a uma ferramenta mais poderosa não chega a lugar nenhum, não encontra a soma da série e o problema fica empacado. Então, vá ao velho Wolfram e ... bingo! Veja: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(n-k)%5E2,+k,+1,+n-1

O fato que, afinal, importa é o seguinte: o objetivo era deduzir a equação do valor futuro para a série gradiente à juros simples e este objetivo foi alcançado. Fora disso é sair do foco.

Sds.



Última edição por Luiz 2017 em Qui Fev 15 2018, 23:06, editado 3 vez(es)

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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por baltuilhe em Qui Fev 15 2018, 13:55

Vou te ajudar na demonstração, Luiz! Smile

Considerando-se:
S_n=1+2+\ldots+n=\dfrac{(n+1)n}{2}
e
Q_n=1^2+2^2+\ldots+n^2 (este vamos deduzir)


Irei desenvolver um binômio elevado à terceira potência:
(0+1)^3=0^3+3\cdot 0^2\cdot 1+3\cdot 0\cdot 1^2+1^3
(1+1)^3=1^3+3\cdot 1^2\cdot 1+3\cdot 1\cdot 1^2+1^3
(2+1)^3=2^3+3\cdot 2^2\cdot 1+3\cdot 2\cdot 1^2+1^3
\vdots
(n+1)^3=n^3+3\cdot n^2\cdot 1+3\cdot n\cdot 1^2+1^3

Agora, vamos somar todas as equações. Perceba que vários termos da direita irão 'cancelar' com vários termos da esquerda. Então:
(n+1)^3=3\cdot\left(1^2+2^2+\ldots+n^2\rigth)+3\cdot(1+2+\ldots+n)+(n+1)

Agora é desenvolver Smile
\\n^3+3n^2+3n+1=3Q_n+3S_n+(n+1)\\\\n^3+3n^2+3n+1=3Q_n+3\cdot\dfrac{(n+1)n}{2}+(n+1)\\\\2n^3+6n^2+6n+2=6Q_n+3n^2+3n+2n+2\\\\6Q_n=2n^3+3n^2+n\\\\6Q_n=n\cdot\left(n^2+2n+1\right)+n^3+n^2=n(n+1)^2+n^2(n+1)\\\\6Q_n=n(n+1)(n+1+n)=n(n+1)(2n+1)\\\\\boxed{Q_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}

Ou
\boxed{Q_n=\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{6}}

Espero ter contribuído! Smile
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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Qui Fev 15 2018, 14:45

@baltuilhe escreveu:Vou te ajudar na demonstração, Luiz! Smile

Considerando-se:
S_n=1+2+\ldots+n=\dfrac{(n+1)n}{2}
e
Q_n=1^2+2^2+\ldots+n^2 (este vamos deduzir)


Irei desenvolver um binômio elevado à terceira potência:
(0+1)^3=0^3+3\cdot 0^2\cdot 1+3\cdot 0\cdot 1^2+1^3
(1+1)^3=1^3+3\cdot 1^2\cdot 1+3\cdot 1\cdot 1^2+1^3
(2+1)^3=2^3+3\cdot 2^2\cdot 1+3\cdot 2\cdot 1^2+1^3
\vdots
(n+1)^3=n^3+3\cdot n^2\cdot 1+3\cdot n\cdot 1^2+1^3

Agora, vamos somar todas as equações. Perceba que vários termos da direita irão 'cancelar' com vários termos da esquerda. Então:
(n+1)^3=3\cdot\left(1^2+2^2+\ldots+n^2\rigth)+3\cdot(1+2+\ldots+n)+(n+1)

Agora é desenvolver Smile
\\n^3+3n^2+3n+1=3Q_n+3S_n+(n+1)\\\\n^3+3n^2+3n+1=3Q_n+3\cdot\dfrac{(n+1)n}{2}+(n+1)\\\\2n^3+6n^2+6n+2=6Q_n+3n^2+3n+2n+2\\\\6Q_n=2n^3+3n^2+n\\\\6Q_n=n\cdot\left(n^2+2n+1\right)+n^3+n^2=n(n+1)^2+n^2(n+1)\\\\6Q_n=n(n+1)(n+1+n)=n(n+1)(2n+1)\\\\\boxed{Q_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}

Ou
\boxed{Q_n=\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{6}}

Espero ter contribuído! Smile



Caro Baltuilhe.

Não ajudou muito, pois tenho a te informar que:

\frac{1}{6}\cdot(n-1)\cdot n\cdot(2n-1)

é igual a:

\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}

e não:

\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}

Sds.


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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por baltuilhe em Qui Fev 15 2018, 15:53

@Luiz 2017 escreveu:
@baltuilhe escreveu:Vou te ajudar na demonstração, Luiz! Smile

Considerando-se:
S_n=1+2+\ldots+n=\dfrac{(n+1)n}{2}
e
Q_n=1^2+2^2+\ldots+n^2 (este vamos deduzir)


Irei desenvolver um binômio elevado à terceira potência:
(0+1)^3=0^3+3\cdot 0^2\cdot 1+3\cdot 0\cdot 1^2+1^3
(1+1)^3=1^3+3\cdot 1^2\cdot 1+3\cdot 1\cdot 1^2+1^3
(2+1)^3=2^3+3\cdot 2^2\cdot 1+3\cdot 2\cdot 1^2+1^3
\vdots
(n+1)^3=n^3+3\cdot n^2\cdot 1+3\cdot n\cdot 1^2+1^3

Agora, vamos somar todas as equações. Perceba que vários termos da direita irão 'cancelar' com vários termos da esquerda. Então:
(n+1)^3=3\cdot\left(1^2+2^2+\ldots+n^2\rigth)+3\cdot(1+2+\ldots+n)+(n+1)

Agora é desenvolver Smile
\\n^3+3n^2+3n+1=3Q_n+3S_n+(n+1)\\\\n^3+3n^2+3n+1=3Q_n+3\cdot\dfrac{(n+1)n}{2}+(n+1)\\\\2n^3+6n^2+6n+2=6Q_n+3n^2+3n+2n+2\\\\6Q_n=2n^3+3n^2+n\\\\6Q_n=n\cdot\left(n^2+2n+1\right)+n^3+n^2=n(n+1)^2+n^2(n+1)\\\\6Q_n=n(n+1)(n+1+n)=n(n+1)(2n+1)\\\\\boxed{Q_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}

Ou
\boxed{Q_n=\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{6}}

Espero ter contribuído! Smile



Caro Baltuilhe.

Não ajudou muito, pois tenho a te informar que:

\frac{1}{6}\cdot(n-1)\cdot n\cdot(2n-1)

é igual a:

\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}

e não:

\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}

Sds.


Meu caro Luiz!

Veja que minha dedução foi para n termos, e a sua é para n-1. Então, fazendo as devidas adaptações teremos:
Para 'n' termos:
Q_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{6}

Para 'n-1' termos:
Q_{n-1}=\dfrac{(n-1)[(n-1)+1][2(n-1)+1]}{6}=\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}

Que fica:
Q_{n-1}=\dfrac{(n^2-n)(2n-1)}{6}=\dfrac{2n^3-n^2-2n^2+n}{6}=\dfrac{n^3}{3}-\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{6}

Sds!
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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Qui Fev 15 2018, 18:47

@baltuilhe escreveu:
Meu caro Luiz!

Veja que minha dedução foi para n termos, e a sua é para n-1. Então, fazendo as devidas adaptações teremos:
Para 'n' termos:
Q_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{6}

Para 'n-1' termos:
Q_{n-1}=\dfrac{(n-1)[(n-1)+1][2(n-1)+1]}{6}=\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}

Que fica:
Q_{n-1}=\dfrac{(n^2-n)(2n-1)}{6}=\dfrac{2n^3-n^2-2n^2+n}{6}=\dfrac{n^3}{3}-\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{6}

Sds!



Baltuilhe, fico sinceramente grato pela sua atitude colaborativa.

Sds.

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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Qui Fev 15 2018, 22:19

@jota-r escreveu:Olá.

Qual o montante de 9 aplicações feitas a juros simples de 2,5% a.m., realizadas no final de cada período, sabendo-se que a primeira é  de $ 8.000,00 e as demais de valores crescentes, à razão de 1.000,00?

R.: 117.300,00

Um abraço.



Acho que em algum momento já falei aqui sobre "erro material", que é aquele que se dá quando, por exemplo, um juiz escreve coisa diversa do que queria escrever, quando o teor da sentença ou despacho não coincide com o que o juiz tinha em mente exarar, quando, em suma, a vontade declarada diverge da vontade real. O juiz, após constatar a inocência do réu, queria escrever "absolvo", mas, por um lapso, por inconsideração, por distração, escreveu precisamente o contrário: condeno. [definição extraída parcialmente de um texto português].

Amigos, fiz esta introdução porque quero pedir desculpas a todos, já que revendo o texto de 11/02/2018 onde foi feita a dedução das fórmulas para determinação do valor futuro de uma série gradiente sob o regime de juros simples, encontrei um pequeno erro material na fórmula final, isto é, onde eu queria e tinha em mente escrever \small{\frac{i}{3}} por uma falha na digitação, acabei escrevendo \small{\frac{1}{3}}.

O próprio resultado do exercício resolvido, que está correto, mostra que, o que está escrito, é uma coisa diferente do que eu queria escrever, qual seja, a vontade declarada diverge da vontade real.

Assim, reescrevo abaixo o mesmo texto, com seu conteúdo integral, apenas retificando o equívoco nas equações (2) e (3):

 

jota-r, eis a solução definitiva:

Já foi demonstrado aqui https://pir2.forumeiros.com/t144477-fator-de-valor-atual-serie-constante#508638 que a expressão geral para cálculo do valor futuro de séries financeiras uniformes de parcelas consecutivas e postecipadas, a ser quitada em "n" períodos iguais de tempo, sob o regime de juros compostos "i", é:

FV = PMT\cdot\Big[(1+i)^0 + (1+i)^1 + (1+i)^2 + (1+i)^3 + (1+i)^4 + ... + (1+i)^{n-1}\Big]

Por analogia, a expressão geral para cálculo do valor futuro de séries financeiras uniformes de parcelas consecutivas e postecipadas, a ser quitada em "n" períodos iguais de tempo, sob o regime de juros simples "i", será:

\small{FV = PMT\cdot\Big[(1+0i) + (1+1i) + (1+2i) + (1+3i) + (1+4i) + ... + (1+(n-1)i)\Big]}

\frac{FV}{PMT} = \Big[1+0i + 1+1i + 1+2i + 1+3i + 1+4i + ... + 1+(n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + \Big[0i + 1i + 2i + 3i + 4i + ... + (n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \Big[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)\Big]

Aqui cabe uma observação:

\Big[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)\Big] = \frac{n^2-n}{2}

Substituindo este valor na equação anterior:

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}

Portanto:

\boxed{FV = PMT \cdot \left[n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}\right]}                                                                (1)

A eq. (1) representa a expressão que atualiza para a data final (data do término da operação), ou o valor futuro (FV), ou montante, a ser quitado ou acumulado mediante uma série uniforme de prestações ou depósitos, a ser realizada ao longo de (n) períodos iguais e consecutivos de tempo, sob o regime de juros simples (i).

Por outro lado, uma série financeira é dita estar em progressão aritmética crescente, quando o conjunto de suas parcelas, pagamentos ou recebimentos, se caracteriza por um crescimento em progressão aritmética, qual seja, quando a diferença entre duas parcelas consecutivas é constante e recebe a denominação de "razão" ou "gradiente". Normalmente a razão é representada por "G" e o primeiro termo por "p", notação esta que aqui será adotada.

Assim, o primeiro termo da série tem o valor "p", o segundo "p+G", o terceiro "p+2G", o quarto "p+3G" e assim sucessivamente até o último termo com valor "p+(n-1)G", onde "n" é o número de parcelas da série.



Desta forma, então, o que se observa é que a série em progressão pode ser desmembrada em "n" séries uniformes.

Portanto, se aplicada a eq. (1) acima a cada um dos termos da série postecipada em progressão, separadamente, e somados, obtém-se:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\left[(n-1) +i\cdot\frac{(n-1)^2-(n-1)}{2}\right]}
\small{\;+\; G\left[(n-2) +i\cdot\frac{(n-2)^2-(n-2)}{2}\right] + ... + G\left[(1) +i\cdot\frac{(1)^2-(1)}{2}\right]}

Colocando G em evidência:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\Big[ (n-1) +i\cdot\frac{(n-1)^2-(n-1)}{2}}
\small{\;+\;(n-2)+i\cdot\frac{(n-2)^2-(n-2)}{2} + ... + (1) +i\cdot\frac{(1)^2-(1)}{2}\Big]}

Colocando i/2 em evidência:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\Big\{\Big[ (n-1) + (n-2) + ... + (1)\Big]}
\small{\; +\; \frac{i}{2} \Big[ (n-1)^2 +(n-2)^2 + ...+ (1)^2\Big] - \frac{i}{2}\Big[(n-1) - (n-2) - ... - (1)\Big] \Big\}}

Aqui cabem duas observações:

\text{1) }\Big[(n-1) + (n-2) + ... + (1)\Big] = \frac{1}{2}\cdot(n-1)\cdot n

\text{2) }\Big[(n-1)^2 + (n-2)^2 + ... + (1)^2\Big] = \frac{1}{6}\cdot(n-1)\cdot n \cdot (2n-1)

Substituindo estes valores na equação anterior:

\small{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\Big\{\Big[\frac{1}{2}\cdot(n-1)\cdot n\Big] + \frac{i}{2} \Big[\frac{1}{6}\cdot(n-1)\cdot n \cdot (2n-1)\Big] - \frac{i}{2}\Big[\frac{1}{2}\cdot(n-1)\cdot n\Big] \Big\}}

Simplificando:

\boxed{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] + G\cdot\frac{n^2-n}{2}\Big[1 +\frac{i}{3}\cdot(n-2)\Big]}                                (2)

A eq. (2) corresponde à expressão que atualiza para a data final (data do término da operação), ou o valor futuro (FV), ou montante, a ser quitado ou acumulado mediante uma série de prestações ou depósitos em progressão aritmética crescente, de razão (G), a ser realizada ao longo de (n) períodos iguais e consecutivos de tempo, sob o regime de juros simples (i), tendo (p) como primeira parcela.

E se a série for em progressão aritmética decrescente, a fórmula  do valor futuro é:

\boxed{FV = p\left[n+i\cdot\frac{n^2-n}{2}\right] - G\cdot\frac{n^2-n}{2}\Big[1 +\frac{i}{3}\cdot(n-2)\Big]}                                (3)

Note-se que a diferença entre a série crescente e a decrescente é apenas o sinal do gradiente.

Com:

i = 0,025 a.m.
p = 8.000,00
G = 1.000,00
n = 9
FV = ?

Substituindo estes valores na eq. (2):

FV = 8000\left[9+0,025\cdot\frac{9^2-9}{2}\right] + 1000\cdot\frac{9^2-9}{2}\Big[1 +\frac{0,025}{3}\cdot(9-2)\Big]

FV = 79200 + 38100

\boxed{FV = \$\;117.300,00}

jota-r, espero ter contribuído com mais duas fórmulas.

Sds.



Última edição por Luiz 2017 em Sex Fev 16 2018, 10:14, editado 5 vez(es)

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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Qui Fev 15 2018, 23:24

@jota-r escreveu:
Olá.

Essas "Observações" não precisam ser demonstradas?

Sds.



Olá jota-r.

O que surpreende é você, que nunca usa demonstração em suas soluções, cobrando demonstração alheia.

Sds.

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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por jota-r em Sex Fev 16 2018, 10:23

@Luiz 2017 escreveu:
@jota-r escreveu:
Olá.

Essas "Observações" não precisam ser demonstradas?

Sds.



Olá jota-r.

O que surpreende é você, que nunca usa demonstração em suas soluções, cobrando demonstração alheia.

Sds.
Olá, Luiz.

O amigo perdeu uma boa oportunidade de ficar calado. Mas não vou lhe dar uma resposta à altura de seu questionamento 
para não ferir ainda mais sua sensibilidade. Quanto a não apresentar demonstração de fórmulas em minhas
resoluções, entendo que é melhor assim, seja por humildade, seja para não sofrer vexame na ocorrência de alguma gafe 
que eventualmente cometa por "erro material". No entanto, conforme-sem pois "errare humanum est."

Um abraço.

jota-r
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Re: Série em PA a juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Sex Fev 16 2018, 11:53

@jota-r escreveu:
@Luiz 2017 escreveu:
@jota-r escreveu:
Olá.

Essas "Observações" não precisam ser demonstradas?

Sds.



Olá jota-r.

O que surpreende é você, que nunca usa demonstração em suas soluções, cobrando demonstração alheia.

Sds.
Olá, Luiz.

O amigo perdeu uma boa oportunidade de ficar calado. Mas não vou lhe dar uma resposta à altura de seu questionamento para não ferir ainda mais sua sensibilidade. Quanto a não apresentar demonstração de fórmulas em minhas resoluções, entendo que é melhor assim, seja por humildade, seja para não sofrer vexame na ocorrência de alguma gafe que eventualmente cometa por "erro material". No entanto, conforme-sem pois "errare humanum est."

Um abraço.



Caro jota-r.

Creio que houve um ledo engano do amigo, pois não perdi oportunidade alguma. Mas, como bem sabemos, a ausência de demonstração não é só devida à humildade. Pode ter também outras motivações. Mas, tal como você, também não vou entrar em pormenores para não abalar o clima de cordialidade que deve prevalecer aqui no fórum. Se a cobrança de demonstração me surpreende, o tom belicoso não. Mas, enfim, como você está fazendo agora, todos aqui têm a liberdade de pensar e dizer o que bem lhe aprouver (lógico, desde que não infrinjam o regulamento). Suas respostas são sempre bem vindas (não as fora do foco). A demonstração é uma mostra de apreço ao conhecimento. Sempre que puder, mostre-a. Não se acanhe. Eu não tenho mais idade para submeter ninguém à vexame. Além disso, o fórum não é um ofício e nem uma obrigatoriedade. Posso estar aqui hoje e amanhã não estar mais, com desprendimento. Sem apego e sem rancor. Além disso, não tenho isto aqui como uma religião, nem como uma obsessão ou compulsão. E muito menos como um tatame.

Sds.

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Re: Série em PA a juros simples

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