Pé de meia para aposentadoria

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Pé de meia para aposentadoria

Mensagem por baltuilhe em Qui Jan 25 2018, 22:38

Para que uma pessoa receba uma 'aposentadoria' igual ao seu salário de R$ 5.645,80 (atual teto do INSS) por 25 anos - dos 53 aos 78 anos de idade, por exemplo -, precisaria contribuir com uma alíquota sobre seu salário dos 18 aos 53 anos. Qual o valor dessa alíquota imaginando que o valor da contribuição será remunerado a 6% a.a. com capitalização mensal?

Resposta:
Aproximadamente 10,89%.


Última edição por baltuilhe em Sex Jan 26 2018, 00:42, editado 1 vez(es) (Razão : Correção relacionada ao valor do salário da pessoa)
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Re: Pé de meia para aposentadoria

Mensagem por Luiz 2017 em Sex Jan 26 2018, 00:05



Baltuilhe, este problema já é bastante conhecido. Muitos livros o enunciam com números diferentes, mas é o mesmo problema. Aqui no fórum mesmo já nos debruçamos sobre ele umas duas vezes.

Com os dados do problema, dá para calcular o valor mensal atual a ser poupado, dos 18 aos 53 anos, para que, ao final desse prazo, se forme o montante que será o capital da futura aposentadoria. Veja bem: estou falando do valor da contribuição mensal, não da alíquota. A alíquota é um percentual. Para calcular a alíquota precisaria conhecer o salário atual da pessoa para determinar qual o percentual que a contribuição representa sobre o mesmo. Creio que seu enunciado está faltando algum dado. A menos que o salário da pessoa seja o próprio teto do INSS de R$ 5.645,80. Confira aí e diga.

Num cálculo preliminar encontrei que a contribuição atual seria $ 615,05 que dá um percentual (alíquota) de 10,893%. Aguardo sua resposta para apresentar os cálculos. Inclusive, sobre os quais, há uma discussão.

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Re: Pé de meia para aposentadoria

Mensagem por baltuilhe em Sex Jan 26 2018, 00:40

Luiz, boa noite!

Não sabia que já tinha sido postado... mas também fui ingênuo em não procurar! Smile
Concordo que realmente não foi informado o salário dele ser igual ao teto do INSS, mas que era o caso. Irei editar o enunciado de forma a deixar claro isso.
E realmente não faria diferença ganhar 1.000 ou 10.000 para calcular a alíquota, sendo que o desejo seria permanecer com o mesmo salário da 'época de contribuição', por assim dizer. Portanto, deixo aqui minha sugestão de solução.

Como sabemos o valor que iremos 'sacar' mensalmente ao término dos árduos anos de depósitos mensais, podemos calcular o valor que precisamos ter depositado para realizar os saques.
Dados:
PMT = 5.645,80
n = 25 anos = 25 x 12 = 300 meses
i = 6% a.a. com capitalização mensal = 6% / 12 = 0,5% a.m.
PV = ?

Vou deixar aqui a expressão que nos entregará o PV, sem fazer as contas:
Fórmula:
PV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n }  }{ i } \right]

Substituindo os dados:
PV = 5\,645,80 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { -300 }  }{ 0,5\% } \right]

Bom, agora conhecemos o PV, certo? Depositando-se, mês após mês, um valor fixo obteremos este montante. O cálculo deixo abaixo.
FV = PV (anteriomente calculado)
n = 53-18 = 35 anos = 35 x 12 = 420 meses
PMT = é o valor do depósito que desejamos saber
Fórmula:
FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } \right]

Substituindo os dados:
5\,645,80 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { -300 }  }{ 0,5\% } \right] = PMT \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { 420 } - 1 }{ 0,5\% } \right]

Irei 'calcular' o valor do PMT em função de 5.645,80, já que o exercício pede uma 'alíquota' em função deste valor.
PMT = 5\,645,80 \cdot \dfrac{ 1 - \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { -300 }  }{ \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { 420 } - 1 }

Calculando, agora:
PMT \approx 5\,645,80 \cdot \dfrac{ \overbrace{ 1 - \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { -300 } } ^ { 0,776034 }  }{ \underbrace{ \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { 420 } - 1 } _ { 7,123551 } }
PMT \approx 5\,645,80 \cdot 0,108939
\boxed{ PMT \approx 5\,645,80 \cdot 10,8939\% }

Espero ter deixado alguma contribuição!

Abraços!
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Re: Pé de meia para aposentadoria

Mensagem por Luiz 2017 em Sex Jan 26 2018, 19:27

baltuilhe escreveu:Para que uma pessoa receba uma 'aposentadoria' igual ao seu salário de R$ 5.645,80 (atual teto do INSS) por 25 anos - dos 53 aos 78 anos de idade, por exemplo -, precisaria contribuir com uma alíquota sobre seu salário dos 18 aos 53 anos. Qual o valor dessa alíquota imaginando que o valor da contribuição será remunerado a 6% a.a. com capitalização mensal?
Dados do problema:


1) Fase de aposentadoria:

PMT1 = 5.645,80
n1 = 25 anos = 300 meses
i = 6% a.a. = 0,5% a.m.
PV1 = ? (capital da futura aposentadoria)


2) fase de contribuição:

PMT2 = ? (contribuição mensal atual necessária para formar o montante que será o capital da futura aposentadoria)
n2 = 35 anos = 420 meses
i = 6% a.a = 0,5% a.m.
FV2 = PV1


3) Salário da pessoa:

Sal = 5.645,80


Solução:


I - Fase de Aposentadoria:

Valor presente de série uniforme postecipada

PV_1 = PMT_1 \cdot \frac {1-(1+i)^{-n_1}}{i}

Substituindo valores:

PV_1 = 5645,80 \cdot \frac {1-(1+0,005)^{-300}}{0,005}

PV_1 = 5645,80 \times 155,206864

PV_1 = 876.266,9128

(este é o capital necessário para gerar o rendimento mensal da futura aposentadoria por 25 anos)


II - Fase de Contribuição:

Valor futuro de série uniforme postecipada

FV_2 = PMT_2 \cdot \frac {(1+i)^{n_2} - 1}{i}

Substituindo valores:

876266,9128 = PMT_2 \cdot \frac {(1+0,005)^{420} - 1}{0,005}

876266,9128 = PMT_2 \times 1424,7102299

PMT_2 = 615,0491882

\boxed{ PMT_2 \approx 615,05 }

(esta é a contribuição mensal a ser poupada dos 18 aos 53 anos, para que, ao final deste prazo, forme o montante que será o capital da futura aposentadoria)


III - Alíquota:

\text{Al\'{i}quota} = \frac{PMT_2} {Sal}

\text{Al\'{i}quota} = \frac{615,0491882} {5645,80}

\text{Al\'{i}quota} = 0,108939245

Resposta:

\boxed{\bf{\text{Al\'{i}quota} \approx 10,89\% }}


Última edição por Luiz 2017 em Sex Jan 26 2018, 21:39, editado 1 vez(es)

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Re: Pé de meia para aposentadoria

Mensagem por Luiz 2017 em Sex Jan 26 2018, 20:48



Discussão sobre este tema:

Penso que este problema pode requerer outro enfoque.

Resumo do problema: trata-se de determinar o valor mensal a ser poupado durante 35 anos para que, ao fim deste prazo, o montante resultante, novamente aplicado, constitua o capital que possa garantir uma aposentadoria que irá permitir uma retirada de $ 5.645,80 mensais por por 25 anos.

Pela lógica do enunciado do problema, infere‐se que tal aposentadoria de 5.5645,80 mensais, refere‐se a valores a níveis correntes, ou seja, a preços de hoje, embora esteja sendo constituída para ser usufruída daqui a 35 anos, portanto, desconsidera completamente a perda do poder aquisitivo de tal aposentadoria. No entanto, nesse sentido, não há o que se questionar, nominalmente, sobre o valor encontrado nos cálculos de $ 615,05 mensais para o período de poupança.

Porém, na realidade, efetivamente, não podemos ignorar que um salário de $ 5.645,80 mensais hoje, sob a mesma taxa de 0,5% a.m., corresponderá, daqui a 35 anos, a:

FV = Sal\times(1+i)^n = 5.645,80\times(1+0,005)^{420} \approx \$\;45.863,95

Caso contrário, não visando a manutenção do poder aquisitivo, qual seja, ignorando este pormenor, uma aposentadoria de $ 5.645,80 mensais daqui a 35 anos, corresponderia a níveis de hoje, com a mesma taxa, a míseros:

PV = FV\times(1+i)^{-n} = 5.645,80\times(1+0,005)^{-420} \approx \$\;694,99 mensais.

importância esta que obviamente é um valor definitivamente irreal para uma aposentadoria programada (além disso é mais de 8 vezes inferior ao salário atual da pessoa).

Penso, então, que para dar um mínimo de realidade à esta questão (*), seria necessário primeiro transportar o valor mensal almejado para a aposentadoria, isto é, os $ 5.645,80, para daqui a 35 anos (que daria $ 45.863,95 mensais, conforme mostrado acima) e aí, sim, dar continuidade ao cálculo.


Ou seja, a solução vem de três etapas:


1ª) Dar algum realismo ao valor da aposentadoria (transportando-a para o futuro de 35 anos).

FV = PV\cdot(1+i)^n = 5.645,80\cdot(1+0,005)^{420}\approx \$\;45.863,95 mensais.


2ª) Determinar o capital suficiente que garanta a futura aposentadoria por 25 anos:

PV=PMT\cdot\frac{1-(1+i)^n}{i}=45863,95\cdot\frac {1-(1+0,005)^{-300}}{0,005}\approx \$\;7.118.399,85

(note que $ 876.266,91 do cálculo do problema original não são suficientes)


3ª) Com base na 2ª etapa, estabelecer o valor mensal da contribuição para a fase da poupança:

PMT=PV\cdot\frac{i}{(1+i)^{n}-1}=7118399,85\cdot\frac{0,005}{(1+0,005)^{420}-1}

\boxed{ PMT \approx \$\;4.996,38}

e não $ 615,05.


Nota:

Neste caso a alíquota seria 4.996,38/5.645,80 = 88,50%

e não 10,89%.


(*) a rigor este processo para ser mais exato precisaria de cálculo atuarial.


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Re: Pé de meia para aposentadoria

Mensagem por Luiz 2017 em Seg Jan 29 2018, 21:21

Baltuilhe, não vi seu comentário sobre o assunto.

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Re: Pé de meia para aposentadoria

Mensagem por Luiz 2017 em Qua Fev 07 2018, 23:37



Continuo sem ver.

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Re: Pé de meia para aposentadoria

Mensagem por baltuilhe em Qui Fev 08 2018, 00:09

Luiz,

Esse é um problema complexo, realmente, mas ainda não tive um tempo para conseguir refletir bem sobre o assunto.
Suas considerações são bastante interessantes, mas continuo sem 'pé' ainda para conseguir realizar alguma discussão sobre.

Num futuro, quem sabe! Smile

sds!
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