Relações Métricas no Triângulo Qualquer

por PedroSantos Qui 25 Jan 2018, 21:16

Um ponto interno interno de um triângulo equilátero dista 5cm, 7cm e 8cm dos vértices do triângulo. Determine os lados desse triângulo.

por **Elcioschin** Qui 25 Jan 2018, 22:32

Seja ABC o triângulo equilátero e O o ponto interno
Sejam AB = BC = CA = L, OA = 5, OB = 8, OC = 7
Sejam α = BÔC, β = AÔC, γ = AÔB

Lei dos cossenos nos triângulos OBC, OAC e OAB:

BC² = OB²+ OC² - 2.OA.OC.cosBÔC ---> L² = 7² + 8² - 2.7.8.cosα ---> I

De modo similar:
L² = 5² + 7² - 2.5.7.cosβ ---> II
L² = 5² + 8² - 2.5.8.cosγ ---> III

Igual I e II e calcule cosβ em função de cosα
Igual I e III e calcule cosγ em função de cosα

α + β + γ = 360º ---> cos(α + β + γ) = 1

Substitua β e γ e calcule cosα e depois calcule L em I