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Mensagem por Luiz 2017 em Seg Jan 22 2018, 16:26

Um veículo é comprado através do crédito direto ao consumidor. A operação baseia-se numa entrada de 20% e o restante financiado em 36 parcelas mensais, postecipadas e fixas, com taxa de juros de 2,80% ao mês. Sabe-se que o imposto financeiro é de $ 330,69 e a taxa de cadastro representa $ 150,00. Assim, o valor da prestação mensal é de $ 1.088,10. Determine o valor do veículo à vista. Se após os pagamentos normais e consecutivos o cliente quiser quitar as 14 últimas parcelas, defina quanto irá desembolsar.
R: 30.000,00 e 12.460,52.

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por jota-r em Seg Jan 22 2018, 19:01

@Luiz 2017 escreveu:Um veículo é comprado através do crédito direto ao consumidor. A operação baseia-se numa entrada de 20% e o restante financiado em 36 parcelas mensais, postecipadas e fixas, com taxa de juros de 2,80% ao mês. Sabe-se que o imposto financeiro é de $ 330,69 e a taxa de cadastro representa $ 150,00. Assim, o valor da prestação mensal é de $ 1.088,10. Determine o valor do veículo à vista. Se após os pagamentos normais e consecutivos o cliente quiser quitar as 14 últimas parcelas, defina quanto irá desembolsar.
R: 30.000,00 e 12.460,52.
Olá.

Valor financiado = 0,8PV + 330,69 + 150,00 = 0,08PV + 480,69
n = 36 meses
i = 2,80% a.m.
PMT = 1088,10
PV = ?


PV = PMT*[(1+i)^n-1]/[(1+i)^n*i]
---->
0,08PV + 480,69 = 1088,10*(1,028^36-1)/(1,028^36*0,028)
---->
0,08PV + 480,69 = 1088,10*22,498596
---->
0,8PV = 24480,722308 - 480,69
---->
0,8PV = 24000,032308
---->
PV = 24000,032308/0,8
---->
PV = 30000,04


VP das 14 parcelas a  pagar:

VP = PMT*[1+i)^n-1]/[(1+i)^n*i]
---->
VP = 1088,10*(1,028^14-1)/(1,028^14*0,028)
---->
VP = 1088,10*11,45162845
---->
VP = 12.460,52

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por Luiz 2017 em Seg Jan 22 2018, 21:39



Brilhante solução. Parabéns.

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por Luiz 2017 em Seg Jan 22 2018, 22:07



Solução correta, contudo, com todas as vênias, neste fórum às vezes temos que esmiuçar e detalhar cada passo que damos na resolução do exercício, principalmente quando usamos técnicas mais avançadas ou atalhos, para que os demais usuários que por aqui passam, também possam compreender o raciocínio usado. Os "iniciados" não veem problemas pois já estão acostumados e estão interessados somente no resultado final. Porém os que estão iniciando, penso, veem os atalhos como obstáculos ao aprendizado. Por exemplo, escrever
PV - 20%PV = PV - 0,2PV = 0,8PV é mais didático para o iniciante do que escrever abruptamente 0,8PV e dar como subentendido. Com o detalhamento, creio, o iniciante compreende melhor como se chegou ao 0,8PV. Mas respeito a opinião de cada um, embora em alguns pontos não concorde.

Sds.

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por jota-r em Ter Jan 23 2018, 10:10

@Luiz 2017 escreveu:

Solução correta, contudo, com todas as vênias, neste fórum às vezes temos que esmiuçar e detalhar cada passo que damos na resolução do exercício, principalmente quando usamos técnicas mais avançadas ou atalhos, para que os demais usuários que por aqui passam, também possam compreender o raciocínio usado. Os "iniciados" não veem problemas pois já estão acostumados e estão interessados somente no resultado final. Porém os que estão iniciando, penso, veem os atalhos como obstáculos ao aprendizado. Por exemplo, escrever
PV - 20%PV = PV - 0,2PV = 0,8PV é mais didático para o iniciante do que escrever abruptamente 0,8PV e dar como subentendido. Com o detalhamento, creio, o iniciante compreende melhor como se chegou ao 0,8PV. Mas respeito a opinião de cada um, embora em alguns pontos não concorde.

Sds.
Quando se trata de exercício postado por usuário que necessita de detalhes eu os dou.

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por Luiz 2017 em Ter Jan 23 2018, 10:46

jota-r, eu disse acima que respeito a opinião de cada um (onde se inclue a sua).

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por Luiz 2017 em Ter Jan 23 2018, 11:39



Solução:


1ª parte = Equação de crédito direto ao consumidor - CDC:

\Big[PV+TAC+IOF\Big]- E = PMT\cdot \left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right]

Sendo:

PV = ?
TAC = 150,00 (tarifa de abertura de cadastro)
IOF = 330,69 (imposto de operação financeira)
E = 20% de PV (entrada)
n = 36 meses
PMT = 1.088,10
i = 2,8% a.m

Substituindo valores:

\Big[PV+150+330,69\Big] - 0,20\cdot PV = 1088,10\cdot \left[\frac{1-(1+0,028)^{-36}}{0,028}\right]

0,8\cdot PV+480,69 = 1088,10\cdot \frac { 1 - (1,028)^{-36} } {0,028}

0,8\cdotPV+480,69 = 1088,10\times 22,498595

0,8\cdotPV+480,69 = 1088,10\times 22,498595

PV = 30000,03902

\boxed{PV \approx \$\;30.000,00}


2ª Parte = Quitação das 14 últimas parcelas:

Valor presente de série uniforme postecipada

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}

onde:

PMT = 1.088,10
n = 14 meses
i = 2,8% a.m.
PV = ?

Substituindo valores:

PV = 1088,10 \cdot \frac {1-(1+0,028)^{-14}}{0,028}

PV = 12460,51691

\boxed{PV \approx \$\;12.460,52}

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por jota-r em Ter Jan 23 2018, 13:24

@Luiz 2017 escreveu:

Solução:


1ª parte = Equação de crédito direto ao consumidor - CDC:

\Big[PV+TAC+IOF\Big]- E = PMT\cdot \left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right]

Sendo:

PV = ?
TAC = 150,00 (tarifa de abertura de cadastro)
IOF = 330,69 (imposto de operação financeira)
E = 20% de PV (entrada)
n = 36 meses
PMT = 1.088,10
i = 2,8% a.m

Substituindo valores:

\Big[PV+150+330,69\Big] - 0,20\cdot PV = 1088,10\cdot \left[\frac{1-(1+0,028)^{-36}}{0,028}\right]

0,8\cdot PV+480,69 = 1088,10\cdot \frac { 1 - (1,028)^{-36} } {0,028}

0,8\cdotPV+480,69 = 1088,10\times 22,498595

0,8\cdotPV+480,69 = 1088,10\times 22,498595

PV = 30000,03902

\boxed{PV \approx \$\;30.000,00}


2ª Parte = Quitação das 14 últimas parcelas:

Valor presente de série uniforme postecipada

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}

onde:

PMT = 1.088,10
n = 14 meses
i = 2,8% a.m.
PV = ?

Substituindo valores:

PV = 1088,10 \cdot \frac {1-(1+0,028)^{-14}}{0,028}

PV = 12460,51691

\boxed{PV \approx \$\;12.460,52}
Ainda tenho algo a falar sobre o valor do desembolso. Em resumo resumo, seria o seguinte:

O desembolso não pode ser interpretado como o valor do veículo a vista, menos o valor presente das 22 prestações já pagas?
Só que, seguindo este raciocínio, o valor não bate com o gabarito? Por que?

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por Luiz 2017 em Ter Jan 23 2018, 17:45



Porque aí seria um outro problema diverso daquele do enunciado original.

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por jota-r em Ter Jan 23 2018, 19:56

@Luiz 2017 escreveu:

Porque aí seria um outro problema diverso daquele do enunciado original.
Olá.


Você está dizendo que estou falando de um outro problema diferente do original? Então você não entendeu o que eu disse. 

O que quero dizer é que, considerando todos os valores na data zero, o valor do carro deve ser igual à soma dos
valores das 22 prestações já pagas com o das 14 prestações que cujo pagamento o cara quer adiantar, os seja:

30.000,00 = 1088,10*(1,028^22 - 1)/(1,028^22*0,028) + 1088,10*(1,028^14 - 1)/(1,028^14*0,028)
---->
30.000,00 = 17693,57 + 12460,52
---->
30.000,00 = 30.154,09---->veja que não bate

Já se raciocinarmos que o valor do reembolso é igual à diferença entre o preço do carro e o das 22 prestações já pagas,
temos: 

Reembolso = 30.000,00 - 1088,10*(1,028^22 - 1)/(1,028^22*0,028)  
---->
Reembolso = 30.000,00 - 17.693,57
---->
Reembolso = 12.306,43

Considerendo este cálculo, a conta fecha, isto é: 17.693,57 + 12.306,43 = 30.000,00 

Em que ponto meu raciocínio está errado?

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por Luiz 2017 em Ter Jan 23 2018, 22:09


"Em que ponto meu raciocínio está errado?"

Não sei. Diga lá...

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por baltuilhe em Ter Jan 23 2018, 23:24

Jota-r, boa noite!

Tentando não entrar na discussão, mas já me envolvendo, o valor atual das 22 prestações já pagas + as 14 prestações ainda a pagar, na data zero, deve ser igual ao valor financiado, que neste caso é de 80% do valor do automóvel somados a 150 de taxa de abertura de contrato mais IOF de 330,69, certo?
Na conta que foi mostrada há um erro de data focal para as 14 próximas prestações. Veja que para fazer essa conta não precisaria fazer separadamente, também. Poderia ter feito direto para os 36 valores de $ 1.088,10. Mas se quisesse fazer a conta como fez, teria que ser assim:
\\PV = 1\,088,10 \cdot \left( \dfrac{ 1,028^{ 22 } - 1 }{ 1,028^{ 22 } \cdot 0,028} \right) + 1\,088,10 \cdot \left( \dfrac{ 1,028^{ 14 } - 1 }{ 1,028^{ 14 } \cdot 0,028} \right) \overbrace{ \cdot \dfrac{ 1 }{ 1,028^{ 22 } } } ^ { \text{ ficou faltando este termo } }\\\\PV \approx 24\,480,72

Calculamos, então, o valor do principal (o valor que ficamos devendo).
Então, na fórmula anterior, atualizei 22 termos de 1088,10 para a data zero, atualizei 14 termos de 1088,10 para a data 22 (já que são os últimos 14), e depois, pelo termo que ficara faltando, atualizei para a data zero.

Financeiramente é o mesmo que:
\\PV = 1\,088,10 \cdot \left( \dfrac{ 1,028^{ 36 } - 1 }{ 1,028^{ 36 } \cdot 0,028} \right) \\\\PV \approx 24\,480,72
A diferença nos centavos se deve a arredondamentos.

Agora, para que possamos obter o valor do reembolso após pagar 22 prestações, podemos atualizar a dívida inicial até o período 22, e subtrair 22 prestações já pagas, atualizadas para a data 22 também. Assim:
\\FV = \overbrace{ 24\,480,72 \cdot 1,028^{ 22 } } ^ { 44\,944,10 } - \overbrace{ 1\,088,10 \cdot \left( \dfrac{ 1,028^{ 22 } - 1 }{ 0,028 } \right) } ^ { 32\,483,59} \approx \boxed{ 12\,460,51 }

Outra forma seria atualizar para a data 22 as 14 prestações que faltam pagar. Da seguinte forma:
\\FV = 1\,088,10 \cdot \left( \dfrac{ 1 - 1,028 ^ { -14 } }{ 0,028 } \right) \approx \boxed{ 12\,460,52 }

Erros devido a arredondamentos, claro!

Espero ter ajudado!
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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por jota-r em Qua Jan 24 2018, 13:42

@baltuilhe escreveu:Jota-r, boa noite!

Tentando não entrar na discussão, mas já me envolvendo, o valor atual das 22 prestações já pagas + as 14 prestações ainda a pagar, na data zero, deve ser igual ao valor financiado, que neste caso é de 80% do valor do automóvel somados a 150 de taxa de abertura de contrato mais IOF de 330,69, certo?
Na conta que foi mostrada há um erro de data focal para as 14 próximas prestações. Veja que para fazer essa conta não precisaria fazer separadamente, também. Poderia ter feito direto para os 36 valores de $ 1.088,10. Mas se quisesse fazer a conta como fez, teria que ser assim:
\\PV = 1\,088,10 \cdot \left( \dfrac{ 1,028^{ 22 } - 1 }{ 1,028^{ 22 } \cdot 0,028} \right) + 1\,088,10 \cdot \left( \dfrac{ 1,028^{ 14 } - 1 }{ 1,028^{ 14 } \cdot 0,028} \right) \overbrace{ \cdot \dfrac{ 1 }{ 1,028^{ 22 } } } ^ { \text{ ficou faltando este termo } }\\\\PV \approx 24\,480,72

Calculamos, então, o valor do principal (o valor que ficamos devendo).
Então, na fórmula anterior, atualizei 22 termos de 1088,10 para a data zero, atualizei 14 termos de 1088,10 para a data 22 (já que são os últimos 14), e depois, pelo termo que ficara faltando, atualizei para a data zero.

Financeiramente é o mesmo que:
\\PV = 1\,088,10 \cdot \left( \dfrac{ 1,028^{ 36 } - 1 }{ 1,028^{ 36 } \cdot 0,028} \right) \\\\PV \approx 24\,480,72
A diferença nos centavos se deve a arredondamentos.

Agora, para que possamos obter o valor do reembolso após pagar 22 prestações, podemos atualizar a dívida inicial até o período 22, e subtrair 22 prestações já pagas, atualizadas para a data 22 também. Assim:
\\FV = \overbrace{ 24\,480,72 \cdot 1,028^{ 22 } } ^ { 44\,944,10 } - \overbrace{ 1\,088,10 \cdot \left( \dfrac{ 1,028^{ 22 } - 1 }{ 0,028 } \right) } ^ { 32\,483,59} \approx \boxed{ 12\,460,51 }

Outra forma seria atualizar para a data 22 as 14 prestações que faltam pagar. Da seguinte forma:
\\FV = 1\,088,10 \cdot \left( \dfrac{ 1 - 1,028 ^ { -14 } }{ 0,028 } \right) \approx \boxed{ 12\,460,52 }

Erros devido a arredondamentos, claro!

Espero ter ajudado!

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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por baltuilhe em Qua Jan 24 2018, 20:01

Oi, Jota-r!

Ficou alguma dúvida??

Abraços!
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Re: Definir o desembolso.

Mensagem por jota-r em Qui Jan 25 2018, 13:00

@baltuilhe escreveu:Oi, Jota-r!

Ficou alguma dúvida??

Abraços!
Olá, Baltuilhe.

Não, nenhuma dúvida. Com as "piruetas" algébricas que você fez, a conta fecha. Do ponto de vista puramente matemático, sua solução é muito boa. Parabéns.

De fato, cometi um equívoco  quanto à data focal para atualização das 14 parcelas, já que são valores
que começariam a ser pagas a partir da data 23.

Outra coisa: o valor do reembolso constante do gabarito, que eu e o Luiz calculamos, na verdade é da data 22 e não da data zero.

Só não considero coerente, no cálculo do reembolso, considerar o valor dos encargos e ignorar o valor da entrada. Até por uma questão de justiça, dever-se-ia contemplar o devedor com um desconto proporcional
às 14 prestações cujo pagamento está sendo antecipado. Grosso modo, algo assim:

20.000----------------36
---x------------------14, cujo valor de x seria atualizado para a data 22. Mas aí nada bateria. Esqueça isto.

Um abraço

jota-r
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