Prisma regular hexagonal

A aresta da base de uma piramide regular hexagonal mede 3 m. calcule a altura e o volume dessa pirâmide, sendo a superfície lateral 10 vezes a área da base.


Gabarito: 9√33/2 m e 243√11/4 m³ .

Bom dia, primeiro vamos calcular a área da base:
Ab = 6 * 3² * raiz3 / 4
Ab = 27*raiz3 / 2

Como a área lateral é 10 vezes a área da base temos:
Al = 10Ab
Al = 135*raiz3

Podemos perceber que a superfície lateral é composta por seis triângulos iguais, cada triangulo é uma face, portanto a área da face é 
Af = Al/6
Af = 22,5*raiz3

Agora vamos calcular a altura da face lateral(Hf)
Af = b*Hf / 2
22,5*raiz3 = 3*Hf / 2
45/3 = Hf
Hf = 15

Agora vamos calcular a altura de um dos triângulos que compõe a base
h = L*raiz3 / 2
h = 3*raiz3 / 2

Como você percebeu, já temos a hipotenusa e um dos catetos de um triângulo retângulo, manda Pitágoras: 
Hf² = X² + h²
X² = Hf² - h²
X² = 15² - (3*raiz3 / 2)²
X² = 2 673/4
X = 9*raiz33 / 2 m

Pronto, agora não tem o que fazer, só jogar na fórmula do volume:
V = Ab * X / 3
∴
V = 243*raiz11 / 4 m³

Espero ter ajudado : D
Perdão pelo desenho made in Paint.