(CN 2014) Equações polinomiais

por Nova Era Ter 16 Jan 2018, 18:34

A equação $(CN 2014) Equações polinomiais Gif$ possui três raízes reais. Sejam p e q números reais fixos, onde p é não nulo. Trocando x por py+q, a quantidade de soluções reais da nova equação é:

a)1
b)3
c)4
d)5
e)6

Gabarito:

por **Giovana Martins** Ter 16 Jan 2018, 19:10

Seja P(x)=x³-2x²-x+2. Pelo Teorema das Raízes Racionais associado ao dispositivo prático de Briot-Ruffini, tem-se que as soluções de P(x) são: x=±1 e x=2. Sendo assim:

x=py+q => py+q=±1 ou py+q=2

Logo:

y=(±1-q)/p ou y=(2-q)/p

Três soluções reais, portanto, y=(±1-q)/p ou y=(2-q)/p.

Nota: no desenvolvimento, eu interpretei a nova equação como sendo x=py+q.

por Nova Era Ter 16 Jan 2018, 20:13

Muito obrigado, Giovana Martins

por **Giovana Martins** Ter 16 Jan 2018, 20:16

De nada.

por Nova Era Dom 21 Jan 2018, 10:51

Bom dia, Giovana.
Sempre que eu troco a incógnita por outra, existe essa transitividade de soluções?

por **Giovana Martins** Dom 21 Jan 2018, 12:08

Bom dia, Nova Era. Não, nem sempre. No momento, eu não consigo lembrar de cabeça nenhum exemplo parecido com o dessa questão, mas dê uma olhada nesta questão (clique aqui). Perceba que ao mudar da variável x para y, x só existe se y for maior ou igual a zero, visto que a extração de raízes cujo índice é par não admite valores negativos. Ou seja, para y aparentemente há solução, mas para x não.