Fórum PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Calcular Montante (Matemática Financeira)

Ir para baixo

Calcular Montante (Matemática Financeira) Empty Calcular Montante (Matemática Financeira)

Mensagem por Baltuilhe Seg 15 Jan 2018, 23:30

Uma concessionária está ofertando um automóvel de R$ 55.000,00 no seguinte plano de financiamento:

  • entrada de 45%
  • prestações mensais de R$ 672,90
  • taxa de 1%a.m.

Por não dispor do valor da entrada um consumidor pensa em economizar, pelo prazo que levaria para financiar o automóvel, o mesmo valor da prestação mensal em um fundo que rende 1% a.m., mesma taxa que seria cobrada no financiamento.
Pergunta-se: qual o valor do montante obtido no final do prazo?

Pra quem desejar:
DESAFIO: Calcular este valor SEM obter a quantidade de prestações Smile

Resposta:
R$ 54.955,00, APROXIMADAMENTE

____________________________________________
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles
Baltuilhe
Baltuilhe
Fera
Fera

Mensagens : 638
Data de inscrição : 23/12/2015
Idade : 45
Localização : Campo Grande, MS, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

Calcular Montante (Matemática Financeira) Empty Re: Calcular Montante (Matemática Financeira)

Mensagem por Baltuilhe Ter 23 Jan 2018, 18:01

Boa tarde!

Para resolver esse problema como propus precisamos de uma fórmula, que irei demonstrar, para depois utilizá-la.

1) Fator de valor atual de uma série de pagamentos iguais:
a_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } \cdot i } = \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i }

2) Fator de recuperação de capital para uma série de pagamentos iguais:
a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ 1 }{ a_{ \overline{ n } | i } } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } \cdot i }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }

3) Fator de acumulação de capital de uma série de depósitos iguais:
s_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i }

4) Fator de formação de capital para uma série de depósitos iguais:
s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ 1 }{ s_{ \overline{ n } | i } } = \dfrac{ i }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }

A fórmula que iremos 'deduzir' correlaciona dois dos termos anteriores: o Fator de Recuperação de Capital e o Fator de Formação de Capital. Façamos a diferença entre eles:
\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } \cdot i }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 } - \dfrac{ i }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }\\\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } \cdot i - i}{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }\\\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ \left[ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 \right]\cdot i}{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }\\\\\boxed{ a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = i  }

Ou seja, conhecendo um dos dois fatores e a taxa de juros, obtemos o outro fator! Simples!

Vejamos os dados do problema:
Entrada de 45% : 45% de 55.000 = 24.750
Saldo restante: 30.250
Prestações: 672,90
Taxa: 1% a.m.

Montando a 'fórmula', seria assim:
\\PV=PMT\cdot a_{ \overline{ n } | i }\\\\PV\cdot a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = PMT\\\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ PMT }{ PV }\\\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ 672,90 }{ 30\,250 }\\\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } \approx 0,022245

Com esse anterior podemos obter o fator de formação de capital, para uma mesma taxa e mesmo período, claro:
\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = i\\\\0,022245 - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = 0,01\\\\s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = 0,022245 - 0,01\\\\s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = 0,012245\\\\s_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ 1 }{ s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } } = \dfrac{ 1 }{ 0,012245 } \approx 81,665986

Agora poderemos calcular o quanto ele acumularia neste mesmo período:
\\FV = PMT \cdot s_{ \overline{ n } | i } = 672,90 \cdot 81,665986 = \boxed { 54\,953,04 }

Para chegar na resposta que propus devemos usar mais casas decimais.

Espero ter contribuído para o conhecimento de quem se aventurar a ler essa resolução!

Sds.

____________________________________________
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles
Baltuilhe
Baltuilhe
Fera
Fera

Mensagens : 638
Data de inscrição : 23/12/2015
Idade : 45
Localização : Campo Grande, MS, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo


 
Permissões neste fórum
Você não pode responder aos tópicos