Determine a taxa mensal de juros compostos.

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Determine a taxa mensal de juros compostos.

Mensagem por Luiz 2017 em Sab Jan 13 2018, 21:00

Uma dívida de $ 800.000,00 é liquidada em 3 anos com mensalidades iguais e sucessivas de $ 51.618,10. Determine a taxa mensal de juros compostos.

Luiz 2017
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Re: Determine a taxa mensal de juros compostos.

Mensagem por baltuilhe em Sab Jan 13 2018, 23:29

Luiz, meu caro, boa noite!

Dados:
PV = $ 800.000,00
n = 3 anos = 36 meses
PMT = $ 51.618,10
i = ?

Montando a equação:
\\\displaystyle{V(i)=-i\cdot PV+PMT\cdot\left[1-\left(1+i\right)^{-n}\right]}\\\\\displaystyle{V'(i)=-PV+n\cdot PMT\cdot\left(1+i\right)^{-(n+1)}}

Dessa vez vou utilizar como valor inicial para o i um ponto onde a derivada torna-se positiva. Primeiro, igualo a derivada a zero:
\\\displaystyle{V'(i)=0}\\\\\displaystyle{\boxed{i=\sqrt[n+1]{\dfrac{n\cdot PMT}{PV}}-1}}

Vou tomar um i maior do que este anterior.
\\\displaystyle{\phi\left(i_k\right)=i_k-\dfrac{V\left(i_k\right)}{V'\left(i_k\right)}}

Calculando o i:
\\\displaystyle{i=\sqrt[36+1]{\dfrac{36\cdot 51\,618,10}{800\,000,00}}-1}\\\displaystyle{\boxed{i\approx 2,30\%}}

Então, irei começar com i=3,00%
Tabela:
nxf(x)f'(x)\phi(x)
03,000000%9.808,181780-177.517,4214438,525194%
18,525194%-19.298,024063-709.952,1381325,806979%
25,806979%-1.603,026949-569.816,1464605,525656%
35,525656%-32,953727-545.986,7710545,519620%
45,519620%-0,016234-545.448,6320455,519617%
55,519617%0,000000-545.448,3663895,519617%
65,519617%0,000000-545.448,3663895,519617%
Solução: i=5,519617% a.m.

Espero ter ajudado!
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Re: Determine a taxa mensal de juros compostos.

Mensagem por Luiz 2017 em Dom Jan 14 2018, 09:39

@baltuilhe escreveu:Luiz, meu caro, boa noite!

Dados:
PV = $ 800.000,00
n = 3 anos = 36 meses
PMT = $ 51.618,10
i = ?

Montando a equação:
\\\displaystyle{V(i)=-i\cdot PV+PMT\cdot\left[1-\left(1+i\right)^{-n}\right]}\\\\\displaystyle{V'(i)=-PV+n\cdot PMT\cdot\left(1+i\right)^{-(n+1)}}

Dessa vez vou utilizar como valor inicial para o i um ponto onde a derivada torna-se positiva. Primeiro, igualo a derivada a zero:
\\\displaystyle{V'(i)=0}\\\\\displaystyle{\boxed{i=\sqrt[n+1]{\dfrac{n\cdot PMT}{PV}}-1}}

Vou tomar um i maior do que este anterior.
\\\displaystyle{\phi\left(i_k\right)=i_k-\dfrac{V\left(i_k\right)}{V'\left(i_k\right)}}

Calculando o i:
\\\displaystyle{i=\sqrt[36+1]{\dfrac{36\cdot 51\,618,10}{800\,000,00}}-1}\\\displaystyle{\boxed{i\approx 2,30\%}}



Por este critério abaixo não seria mais fácil de encontrar o valor inicial?

\boxed {i_0 = \frac{PMT}{PV} - \frac{PV}{PMT \cdot n^2}}

i_0 = \frac{51618,10}{800000} - \frac{800000}{51618,10 \cdot 36^2}

i_0 = 0,05256

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