Circunferência

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Circunferência

Mensagem por PedroSantos em Sab 13 Jan 2018, 06:22

Os segmentos PA e PB formam ângulos de 45° com o diâmetro. Se AB=12m determine o raio do círculo.


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Re: Circunferência

Mensagem por Felipe Dias Soares em Sab 13 Jan 2018, 09:21

O ângulo APB é reto. Aplicando lei dos senos em APB temos que o raio é de 6m. Tem o gabarito?
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Re: Circunferência

Mensagem por PedroSantos em Sab 13 Jan 2018, 12:07

Sim no meu livro a resposta é  6√2

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Re: Circunferência

Mensagem por Tijolo de Newton em Sab 13 Jan 2018, 14:49

felipedias34 escreveu:O ângulo APB é reto. Aplicando lei dos senos em APB temos que o raio é de 6m. Tem o gabarito?
Como você chegou a raio = 6 ?
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Re: Circunferência

Mensagem por baltuilhe em Sab 13 Jan 2018, 15:40

Boa tarde!

Resolvi da seguinte forma:

1) Sendo os ângulos formados pelos segmentos PA e PB de 45º com o diâmetro temos que o triângulo APB é retângulo em P;
2) Traçando-se a mediatriz pelo segmento AB esta encontra o centro da circunferência em O (já que esta corda foi informada como diâmetro);
3) Traçando-se a circunferência com centro em M verificamos que APB está inscrito nesta, pois tem ângulo reto e agora o triângulo AOB também está inscrito na mesma, sendo reto em O;
4) O triângulo AOB é isósceles, pois OA = OB, portanto, tem ângulos de A=B=45º;
5) Agora podemos complementar com o diâmetro BC e montar o triângulo ABC, também retângulo em A, pois está inscrito no círculo de centro O;
6) Sendo OA a mediatriz da 'corda' (diâmetro) BC o triângulo ABC é isósceles, com AB=12 e AC=12;
7) Usando pitágoras podemos calcular 2R.
\\(2R)^2=12^2+12^2\\4R^2=2\cdot 144\\R^2=2\cdot 36\\\boxed{R=6\sqrt{2}}

Espero ter ajudado!

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Re: Circunferência

Mensagem por PedroSantos em Sab 13 Jan 2018, 22:32

Nossa obg, vc é bom para caramba em geometria

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Re: Circunferência

Mensagem por PedroSantos em Sab 13 Jan 2018, 23:03

Só uma pergunta, como vc descobriu que o triangulo AOB estava inscrito na circunferência?

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Re: Circunferência

Mensagem por Elcioschin em Sab 13 Jan 2018, 23:34

Porque, na circunferência vermelha:

1) AMB é diâmetro
2) AMBOA é uma semicircunferência

Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo
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Re: Circunferência

Mensagem por PedroSantos em Sab 13 Jan 2018, 23:42

sim, mas a minha duvida é como ele sabe que o ponto O pertence a circunferência de centro M. Pq partindo do pressuposto que esse ponto pertença, a distancia de M até O séria 6m. Então a minha duvida séria como ele sabe que o segmento OM medi 6m?

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Re: Circunferência

Mensagem por PedroSantos em Sab 13 Jan 2018, 23:47

Pq usando um programa como o AutoCAD fica fácil perceber que o ponto O pertence a circunferência, mas fazendo um desenho a mão ficaria um pouco mais complicado, a unica maneira seria provar que OM =6m

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Re: Circunferência

Mensagem por Elcioschin em Dom 14 Jan 2018, 00:01

Porque AM = BM = OM = raio da circunferência vermelha
E note que o triângulo A^PB também é retângulo e está inscrito na mesma circunferência.
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Re: Circunferência

Mensagem por PedroSantos em Dom 14 Jan 2018, 01:31

entendi!

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Re: Circunferência

Mensagem por PedroSantos em Dom 14 Jan 2018, 01:35

obg

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Re: Circunferência

Mensagem por baltuilhe em Dom 14 Jan 2018, 03:19

Boa noite!

Após conjecturar bastante consegui demonstrar que o triângulo AOB é retângulo em O. Não posso afirmar que não exista forma mais simples (e espero que exista).

Antes, uma definição.
Em uma circunferência de centro O e dois pontos A e B quaisquer da circunferência o ângulo formado entre estes dois raios OA e OB é chamado de ângulo central. Tomando um terceiro ponto qualquer C da circunferência, o ângulo ACB é chamado de ângulo inscrito e pode-se facilmente demonstrar que o ângulo inscrito é metade de seu ângulo central.


Agora, vamos à prova! Smile
1) APB é retângulo em P (isso ficou claro, né?);
2) Prolonga-se os segmentos BP e AP até G e F, respectivamente;
3) Perceba agora o triângulo PGF que têm os ângulos PGF = beta e PFG = alfa. O ângulo inscrito beta (PGF) é metade do ângulo central BOF e o ângulo inscrito alfa (PFG) é metade do ângulo central AOG. (poderia ter usado o PAB também, sem problemas);
4) O ângulo GPA é ângulo externo ao triângulo PGF, portanto, soma dos ângulos internos não-adjacentes. Daí encontramos que alfa+beta = 90;
5) Veja, pela simetria (temos um diâmetro), que OA = OG e OP é uma bissetriz, portanto, AOP = alfa e da mesma forma temos do outro lado o beta (BO e a ponta do diâmetro...);
6) Se alfa+beta = 90, então, AOB também vale 90 graus! (UFA)
7) Agora o exercício continua conforme já tinha resolvido.


Quaisquer dúvidas, estou à disposição!
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Re: Circunferência

Mensagem por raimundo pereira em Dom 14 Jan 2018, 14:34

Se A^PB é 45, então AB corresp ao lado de um quadrado inscrito (arco de 90). Se tiver dúvidas para ver, ligue A e B a O e veja formando um triâang. RET. ISÓSCELES AOB , e o ângulo central AÔB=45º.
LV2= lado do quadrado inscrito
LV2=12--->L=6V2
Vela que o triâng. AÔB é retâng isósceles de hipotenusa =6V2, se a hispot é 6V2 , o lado=raio=6
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Re: Circunferência

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