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Paralelepípedo retângulo

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Paralelepípedo retângulo Empty Paralelepípedo retângulo

Mensagem por RamonLucas Dom 28 Jun 2015, 21:14

Prove que em um paralelepípedo retângulo a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual à soma dos quadrados das dozes arestas.


Gabarito: Basta usar a expressão de d2.
Eu não entendi a questão.

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Mensagem por Elcioschin Dom 28 Jun 2015, 21:46

Sejam a, b, c as dimensões do paralelepípedo e seja d a sua diagonal

Provar que 4.d² = 4.a² + 4.b² + 4.c²

Agora é contigo
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Mensagem por RamonLucas Dom 28 Jun 2015, 22:24

Elcioschin escreveu:Sejam a, b, c as dimensões do paralelepípedo e seja d a sua diagonal

Provar que 4.d² = 4.a² + 4.b² + 4.c²

Agora é contigo

4.d² = 4.a² + 4.b² + 4.c² 
4.d² =  4.(a² + b² + c²)   divido por 4 
d² =  a² + b² + c²

Elcioschin. chequei até aqui.

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Mensagem por Ashitaka Dom 28 Jun 2015, 22:56

Lembro de algo assim:
em um quadrilátero qualquer, vale a relação:
a² + b² + c² + d² = MN² + p² + q², onde a, b, c, d são lados; p e q são as diagonais e MN é a mediana de Euler.

Talvez se aplicar isso para alguns lados, chegue no que quer. Eu, sinceramente, nunca essa equação e o professor que me ensinou disse que nunca usou isso na vida dele. Não gosto nem sou bom em geometria, mas o problema me lembrou dessa equação. Talvez você saiba aplicá-la, se possível.
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Mensagem por fantecele Dom 28 Jun 2015, 23:03

essa não seria só fazer...
a diagonal de um paralelepípedo é d² = a² + b² + c²
sendo a, b e c as arestas
depois tu multiplica por 4 os dois lados.
4d² = 4a² + 4b² + 4c²
bem, acho que é isso....

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Mensagem por Lucasdeltafisica Ter 10 Dez 2019, 16:18

Se imaginarmos que a = b = c
4(3a²) = 12a²

Será que está certo assim? Apesar de não ser uma condição obrigatória para ser paralelepípedo retangulo.
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Mensagem por Elcioschin Ter 10 Dez 2019, 18:26

Seja d a diagonal da face de lados a, b ---> d² = a² + b²
Seja D a diagonal do paralelepípedo ---> D² = d² + c² ---> D² = a² + b² + c²

Multiplicando a última equação por 4 ---> 4.D² = 4.a² + 4.b² + 4.c²

D² + D² + D² + D² = a² + a² + a² + a² + b² +b² + b² + b² + c² + c² + c² + c²

Soma dos quadrados das diagonais = soma dos quadrados das 12 arestas
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