UFG 2003 - Pentágono

(Ufg 2003) A figura abaixo representa um pentágono regular ABCDE com 2 cm de lado e os pontos de interseção das retas determinadas pelos lados AB e DC e das retas determinadas por BC e ED.



1 - O raio da circunferência que circunscreve o pentágono é maior que 2. 
2 - Os triângulos ADC e FBC são congruentes. 
3 - DC ⋅ DF = (CF)^2 , onde DC, DF e CF representam as medidas dos respectivos segmentos. 
4-  cos α = 1+V5/5

GAB: 2 e 3

1) Falso, veja a figura abaixo e considere o seguinte teorema: "Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo." Portanto, como o lado de medida 2 é oposto ao maior ângulo (72º), então r < 2.



2) Verdadeiro, o ângulos internos do pentágono medem 108º. Logo, os externos medem 72º. Assim, os ângulos FBC = FCB = 72º. No triângulo isósceles AED, temos que Ê = 108º, assim EDA = EAD = 36º. Portanto, o ângulo ADC = 108 - 36 = 72º. Com raciocínio análogo, temos que o ângulo ACD = 72º.

Pelo caso de congruência de triângulos ALA (ângulo, lado, ângulo), temos que os triângulos ADC e FBC são congruentes, pois FBC = ADC = 72º, BC = DC = 2 e FCB = FCD = 72º.


3) Verdadeiro. Pelos motivos do item anterior temos então que os triângulo BFC e CGD são congruentes e, além disso, que ∝ = BFC = 36º. 

Agora, considere o triângulo isósceles GCF. O ângulo FCG = 108º, logo o ângulo CGF = 36º. Disso resulta que o ângulo FGD = CGF + ∝ = 72º. Como FDG = 72º, temos que o triângulo DFG é isósceles. Portanto, os triângulos DFG e CGD são semelhantes.

Considere a figura:


Temos, \frac{DC}{DG}= \frac{DG}{DF} \ \ \Rightarrow \ \ DC.DF=(DG)^2

Como DG = CF, logo DC.DF=(CF)^2


4) Falso. Seja DC = 2 e CF = x. Pela relação anterior, temos:

2.(x+2)=x^2

x^2-2x-4=0 \ \ \Rightarrow \ \ x= 1 \pm \sqrt{5}

Como x>0, logo x= 1 +\sqrt{5}

No triângulo CGD, observe que se o ângulo ∝ = 36º, então DCG = 72º = 2∝. 

Vamos utilizar a Lei dos Senos nesse triângulo, e aplicar a identidade sen(2\alpha)=2.sen ( \alpha).cos(\alpha),  logo:

\frac{2}{ sen (\alpha) } = \frac{1 + \sqrt{5}}{sen (2 \alpha)}

\frac{2}{ sen (\alpha) } = \frac{1 + \sqrt{5}}{2.sen ( \alpha).cos(\alpha)}

cos(\alpha) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}


Obs: Você também poderia ter usado a Lei dos Cossenos nesse triângulo.

Se tiver algum erro ou dúvida é só avisar.

Perfeito!!! Baita resolução, obrigado evandronunes!

Difícil seria resolver em poucos minutos.