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AFA) Polinômios e nº complexos

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Resolvido AFA) Polinômios e nº complexos

Mensagem por Joy.Cristina135 Ter 19 Dez 2017, 10:42

(AFA) Sabendo-se que Xo= -i, X1= 3 e X2 = [(1/2) + (i*√3/2)]^20 são raízes de P(x) = x^6 -3x^5 +x^4 -4x^3 +3x^2 -ax +3, i é a unidade imaginária e a é um número real, marque a alternativa FALSA.
a) O número a também é raiz de P(x).
b) A soma das raízes reais de P(x) é um número par.
c) O produto das raízes imaginárias é diferente de a.
d) P(x) é divisível por x^2 +x +1.

GABARITO: (C)
Preciso de ajuda nessa questão para provar que a C é falsa e as demais são verdadeiras.
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Resolvido Re: AFA) Polinômios e nº complexos

Mensagem por Giovana Martins Ter 19 Dez 2017, 11:29

Raízes:

AFA) Polinômios e nº complexos Codeco66

P(3)=0 -> a=1

∴ P(x)=x6-3x5+x4-4x3+3x2-x+3

Pelo Teorema das Raízes Racionais:

Possíveis raízes: ±1 ou ±3

Para x=1, tem-se P(1)=0, logo, λ=1. 

Letra A (verdadeira):

Desse modo, a=λ=1, portanto, "a" também é raiz de P(x). 

Letra B (verdadeira):

A soma das raízes reais de P(x) resulta no valor 4, que é par.

Letra C (falsa):

O produto entre as raízes imaginárias de P(x) resulta no valor 1, que é igual a "a".

Letra D (verdadeira):

Se P(x) for divisível por x²+x+1, logo, P(x) será divisível pelas raízes de x²+x+1=0. Para x²+x+1=0, tem-se x=(-1±i√3)/2, as quais já provamos serem raízes de P(x).
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Resolvido Re: AFA) Polinômios e nº complexos

Mensagem por MarlonBrSKOITO Qui 19 Nov 2020, 16:40

Por que usando as relações de Girard, a soma das raízes dá 3 (que não é par) ?
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Resolvido Re: AFA) Polinômios e nº complexos

Mensagem por Giovana Martins Qui 19 Nov 2020, 17:02

Veja: "A soma das raízes reais de P(x) é um número par."

O item b) pede a soma das raízes reais apenas. Por Girard, você soma todas as raízes, inclusive as imaginárias.
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Resolvido Re: AFA) Polinômios e nº complexos

Mensagem por MarlonBrSKOITO Qui 19 Nov 2020, 17:38

Obrigado !
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Resolvido Re: AFA) Polinômios e nº complexos

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