A que taxa mensal?

por Luiz 2017 Sex 15 Dez 2017, 02:25

A que taxa mensal de juros compostos devem ser depositadas mensalmente, durante dez meses, parcelas iguais numa conta poupança, de modo que seu montante venha a ser igual a 15 vezes o valor mensal depositado?

por **Jader** Sex 15 Dez 2017, 14:37

M = 15*C

t = 10 meses

i = ?

M = C*(1+i)^t

15*C = C*(1+i)^10

15 = (1+i)^10

i = 1,3110 - 1

i = 0,3110

i = 31,1% (aproximadamente)

por Luiz 2017 Sex 15 Dez 2017, 16:59

Jader escreveu:M = 15*C

t = 10 meses

i = ?

M = C*(1+i)^t

15*C = C*(1+i)^10

15 = (1+i)^10

i = 1,3110 - 1

i = 0,3110

i = 31,1% (aproximadamente)

FV = 15*PMT
n = 10 meses
i = ?

FV = PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1}{i}

Substituindo FV e n:

15 \cdot PMT = PMT \cdot \frac {(1+i)^{10} - 1}{i}

15 = \frac {(1+i)^{10} - 1}{i}

Resolvendo pela fórmula de Baily:

h = \left( \frac{FV}{n \cdot PMT} \right)^{\frac{2}{n-1}}-1

i = h \cdot \left[ \frac{12+(n+1)h}{12+2(n+1)h} \right]

Portanto:

h = \left( \frac{15}{10} \right)^{\frac{2}{10-1}}-1

h = \Big(1,5\Big)^{\frac{2}{9}}-1

h = 0,094287

i = 0,094287 \times \left[ \frac{12+11 \times 0,094287}{12+2\times 11 \times 0,094287} \right]

\bf{i \approx 8,73\% \;a.m.}

Bate com a HP 12C.

por **jota-r** Ter 19 Dez 2017, 15:10

Luiz 2017 escreveu:
Jader escreveu:M = 15*C

t = 10 meses

i = ?

M = C*(1+i)^t

15*C = C*(1+i)^10

15 = (1+i)^10

i = 1,3110 - 1

i = 0,3110

i = 31,1% (aproximadamente)

FV = 15*PMT
n = 10 meses
i = ?

FV = PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1}{i}

Substituindo FV e n:

15 \cdot PMT = PMT \cdot \frac {(1+i)^{10} - 1}{i}

15 = \frac {(1+i)^{10} - 1}{i}

Resolvendo pela fórmula de Baily:

h = \left( \frac{FV}{n \cdot PMT} \right)^{\frac{2}{n-1}}-1

i = h \cdot \left[ \frac{12+(n+1)h}{12+2(n+1)h} \right]

Portanto:

h = \left( \frac{15}{10} \right)^{\frac{2}{10-1}}-1

h = \Big(1,5\Big)^{\frac{2}{9}}-1

h = 0,094287

i = 0,094287 \times \left[ \frac{12+11 \times 0,094287}{12+2\times 11 \times 0,094287} \right]

\bf{i \approx 8,73\% \;a.m.}

Bate com a HP 12C.

Luiz, só não entendi por que a variável "i" do denominador da igualdade 15 = [(1+i)^10-1)]/i foi desprezada no cálculo do "h" da fórmula de "Baily".

por Luiz 2017 Ter 19 Dez 2017, 17:29

jota-r escreveu:
Luiz, só não entendi por que a variável "i" do denominador da igualdade 15 = [(1+i)^10-1)]/i foi desprezada no cálculo do "h" da fórmula de "Baily".

Jota, a fórmula de Baily (na verdade duas: uma para h e outra para i), como sabe, foi desenvolvida por seu autor desta forma mesmo, isto é:

h = \left( \frac{FV}{n \cdot PMT} \right)^{\frac{2}{n-1}}-1

i = h \cdot \left[ \frac{12+(n+1)h}{12+2(n+1)h} \right]

A variável "i" não é desprezada, ela é a incógnita do problema e só depende de n, FV e PMT. E nada mais. A equação geral de juros (com i no denominador) e a equação de Baily, são equações independentes.

Em seu livro "The Doctrine of Interest and Annuities", de 1808, Baily faz uma minuciosa demonstração de sua fórmula. O livro de Baily está disponível na internet aqui:

https://books.googleusercontent.com/books/content?req=AKW5QaeyjNHCqI2kg77NhpuWHUNLKp56s0CjTA-um7hvxGyKAjsMRT8wuOKFZboBN_dAMwnxB8wh6bK-rlflJDQNwBGS89fUs5Z1va8pewLUyy6p7hEJMJ5FQAuHs0Wl5TDXF6Kp8k1UecXFcnAuRPCs2O1ZnTWekSzuSDG774nXKI3H5_may512_uNIgwglVgLOX9mt06wABIqh7sx_KfASUHZKqxyjFY5BWC4wXSBvc1XWwXNzZgFGlrGjKebTufuMFF1cEBBC37ci3EVEYYA3kiDN-5B5TncT0GaEL8TuzcN30zlxd0297hAxRA0KjuZ7sfP1T5fC

por Luiz 2017 Ter 19 Dez 2017, 17:45

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
Luiz, só não entendi por que a variável "i" do denominador da igualdade 15 = [(1+i)^10-1)]/i foi desprezada no cálculo do "h" da fórmula de "Baily".

Jota, a fórmula de Baily (na verdade duas: uma para h e outra para i), como sabe, foi desenvolvida por seu autor desta forma mesmo, isto é:

h = \left( \frac{FV}{n \cdot PMT} \right)^{\frac{2}{n-1}}-1

i = h \cdot \left[ \frac{12+(n+1)h}{12+2(n+1)h} \right]

A variável "i" não é desprezada, ela é a incógnita do problema e só depende de n, FV e PMT. E nada mais. A equação geral de juros (com i no denominador) e a equação de Baily, são equações independentes.

Em seu livro "The Doctrine of Interest and Annuities", de 1808, Baily faz uma minuciosa demonstração de sua fórmula. O livro de Baily está disponível na internet aqui:

https://books.googleusercontent.com/books/content?req=AKW5QaeyjNHCqI2kg77NhpuWHUNLKp56s0CjTA-um7hvxGyKAjsMRT8wuOKFZboBN_dAMwnxB8wh6bK-rlflJDQNwBGS89fUs5Z1va8pewLUyy6p7hEJMJ5FQAuHs0Wl5TDXF6Kp8k1UecXFcnAuRPCs2O1ZnTWekSzuSDG774nXKI3H5_may512_uNIgwglVgLOX9mt06wABIqh7sx_KfASUHZKqxyjFY5BWC4wXSBvc1XWwXNzZgFGlrGjKebTufuMFF1cEBBC37ci3EVEYYA3kiDN-5B5TncT0GaEL8TuzcN30zlxd0297hAxRA0KjuZ7sfP1T5fC

Veja que a equação:

15 = \frac{(1+i)^{10} - 1}{i}

não tem solução algébrica para i, pois desdobra-se numa equação do 10º grau. Por isso que há 209 anos Baily desenvolveu sua equação que é do 1º grau, portanto simples de resolver, e dá resultados aproximados.

por biologiaéchato Sáb 20 Jan 2018, 23:06

Jader escreveu:M = 15*C

t = 10 meses

i = ?

M = C*(1+i)^t

15*C = C*(1+i)^10

15 = (1+i)^10

i = 1,3110 - 1

i = 0,3110

i = 31,1% (aproximadamente)

Porquê essa resposta não está correta?

por Luiz 2017 Dom 21 Jan 2018, 00:57

Olá Dudu.

A resposta não está correta porque foi usada a equação indevida:

\boxed{FV = PV \cdot (1+i)^{n}}

que é a equação para calcular o valor futuro a ser recebido ao final do prazo estabelecido, à certa taxa de juros, pelo depósito de determinado valor único.

No presente problema a situação é diferente: há uma série de 10 depósitos mensais e a fórmula acima não se aplica. Neste caso, entre outras, para o cálculo da taxa pode-se usar a fórmula de Baily:

\boxed{i = h \cdot \left[ \frac{12+(n+1)h}{12+2(n+1)h} \right]}

onde:

h = \left( \frac{FV}{n \cdot PMT} \right)^{2/(n-1)}-1

Sds.