Sólido de volume finito e área infinita.

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Sólido de volume finito e área infinita.

Mensagem por Willian Honorio em Ter Dez 12 2017, 23:45

Um paradoxo bem interessante que advém do Cálculo Diferencial e Integral, é resultado da determinação  da área e do volume de um sólido gerado pela rotação da função recíproca em torno do eixo x. Tomando a Integral a partir da reta x=1 ,teremos o curioso resultado: Pode-se construir um sólido de volume finito e área infinita. Se tivéssemos, por exemplo, água, seria necessária uma quantidade finita para preenchê-lo, mas uma quantidade infinita de tinta para pintá-lo.
  Esse fato que vai de encontro à nossa intuição, foi estudado por Evangelista Torricelli e é chamado de ''Trombeta de Gabriel'', nome dado pela semelhança do sólido com uma trombeta e em referência a Gabriel, que segundo o Cristianismo, é um dos anjos de Deus que utilizará uma trombeta para anunciar a volta de Jesus Cristo.
 
  Tomando a função recíproca [f(x)=1/x] que é bastante conhecida por todos, o volume de um sólido de revolução gerado pela rotação da curva em torno do eixo das abscissas, de x=1 até o infinito, é dado por:



Tomando a situação do problema:






Ou seja, para preencher o sólido acima, é necessário ''pi'' unidades de volume. Calculemos agora a área desse sólido:



A partir da última Integral, é sempre verdadeiro dizer que :   para qualquer x real, ou seja:



Da Integral da direita: 



Logo: 



Resultado esse que vai contra o senso comum, afinal, como é possível obtermos um sólido de volume finito e área infinita? Esse é o paradoxo...

Créditos:
Imagens: Wikipédia
Canal ''Toda a Matemática'', do professor Gustavo Viegas, no qual me inspirei.
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Re: Sólido de volume finito e área infinita.

Mensagem por Giovana Martins em Sex Dez 15 2017, 17:05

Bem legal, Willian. Boa contribuição ao fórum.
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Re: Sólido de volume finito e área infinita.

Mensagem por Willian Honorio em Seg Dez 18 2017, 19:25

Obrigado, Giovana. Espero que outros colegas também achem interessante.
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Re: Sólido de volume finito e área infinita.

Mensagem por Edsonrs em Seg Dez 18 2017, 19:40

Este tipo de paradoxo me parece ser uma espécie de "prova" que a natureza tem que ser descontínua.

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Re: Sólido de volume finito e área infinita.

Mensagem por Matheus Tsilva em Seg Dez 18 2017, 19:43

Sempre postando artigos de alto valor para o fórum, obrigado por todos os cqd’s willian , e por mais essa materia.
Utilizei muito suas deduções , venho agora agradecer.
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Re: Sólido de volume finito e área infinita.

Mensagem por Giovana Martins em Seg Dez 18 2017, 20:12

"Obrigado, Giovana. Espero que outros colegas também achem interessante."

Certeza que os outros colegas irão gostar, Willian, afinal essa é uma situação bem estranha. Na minha mente isso não faz o menor sentido hahaha.
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Re: Sólido de volume finito e área infinita.

Mensagem por Willian Honorio em Qua Dez 20 2017, 14:56

Matheus Tsilva escreveu:Sempre postando artigos de alto valor para o fórum, obrigado por todos os cqd’s willian , e por mais essa materia.
Utilizei muito suas deduções , venho agora agradecer.

  Fico contente em saber que o auxilio, Matheus. Os colegas, no geral, compartilham demonstrações muito interessantes naquela seção, ela é ótima para aprender ou se interessar por alguns assuntos não comumente abordados à nível médio.
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Re: Sólido de volume finito e área infinita.

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