Números complexos
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Números complexos
Determine z ∈ C tal que as imagens de i; z e iz sejam vértices de um triângulo equilátero .
Resp:z=(-1/2 + √3/2) + (-1/2 + √3/2)i ou (-1/2 - √3/2) + (-1/2 - √3/2)i
Resp:z=(-1/2 + √3/2) + (-1/2 + √3/2)i ou (-1/2 - √3/2) + (-1/2 - √3/2)i
jvrf_22- Iniciante
- Mensagens : 12
Data de inscrição : 01/06/2017
Idade : 24
Localização : Salvador - Bahia
Re: Números complexos
Pode-se demonstrar (fica como exercício) que se os afixos de três complexos z,w e v formam um triângulo equilátero no Plano Complexo de Argand-Gauss, então eles satisfarão a equação:
Utilizando-a:
Primeira possibilidade: a-b=0 --> a=b, substituindo na primeira expressão do sistema:
Nesse caso, teremos os dois primeiros complexos:
Com a segunda afirmação a+b+1=0 --> a+b=-1, substituindo novamente naquela primeira expressão do sistema:
Ou seja, b é complexo. Ora, essa solução não serve justamente por estarmos violando a condição de existência de um número complexo, a e b devem ser reais. A resposta, portanto, são os dois complexos calculados acima.
O grande empecilho na resolução dessa questão foi justamente a primeira propriedade citada, ela não é muito conhecida e também não é muito fácil demonstrá-la rapidamente, entretanto, peço que acredite no resultado. Caso eu ache outra solução sem meios ''hardcore'' eu volto aqui e edito. Espero também que abra margem para outro colega apresentar uma solução diferente e mais inteligente da aqui apresentada.
Utilizando-a:
Primeira possibilidade: a-b=0 --> a=b, substituindo na primeira expressão do sistema:
Nesse caso, teremos os dois primeiros complexos:
Com a segunda afirmação a+b+1=0 --> a+b=-1, substituindo novamente naquela primeira expressão do sistema:
Ou seja, b é complexo. Ora, essa solução não serve justamente por estarmos violando a condição de existência de um número complexo, a e b devem ser reais. A resposta, portanto, são os dois complexos calculados acima.
O grande empecilho na resolução dessa questão foi justamente a primeira propriedade citada, ela não é muito conhecida e também não é muito fácil demonstrá-la rapidamente, entretanto, peço que acredite no resultado. Caso eu ache outra solução sem meios ''hardcore'' eu volto aqui e edito. Espero também que abra margem para outro colega apresentar uma solução diferente e mais inteligente da aqui apresentada.
Willian Honorio- Matador
- Mensagens : 1271
Data de inscrição : 27/04/2016
Idade : 27
Localização : São Paulo
Re: Números complexos
De fato, desconhecia a relação e gostaria de saber outras resoluções, mas agradeço!
jvrf_22- Iniciante
- Mensagens : 12
Data de inscrição : 01/06/2017
Idade : 24
Localização : Salvador - Bahia
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