Base de numeração

por Nova Era Sáb 02 Dez 2017, 17:10

Considere um sistema de numeração na base 9, ou seja, um sistema posicional em que cada ordem é ocupada apenas por um algarismo de 0 até 8. Por exemplo, o número (XYZ)9, onde X, Y e Z são algarismos dessa base, representa, o número 9²X+9Y+Z na base dez usual. Nas perguntas a seguir, A, B, C e D são algarismos desse sistema de numeração
a) é possível decidir se o número (AB1)9 é par? Justifique
b) Se C+D = 5, é possível decidir se (CD3)9 é par? Justifique.

Pessoal, em uma prova discursiva, como eu posso justificar minhas respostas?

por **xSoloDrop** Sáb 02 Dez 2017, 18:03

Eu não sei se minha resposta está do jeito apropriado para uma prova discursiva, mas aqui o que conta é o raciocínio, então...

a)

Seja o número (AB1)9 denominado N, temos que N = 81A+9B+1.

Considerando que todos os números inteiros pares sejam definidos como 2x e os inteiros ímpares como 2x-1, tais que x ∈ ℤ, temos os seguintes casos:

1) A par e B ímpar.

N = 81.2x+9(2x-1)+1

N = 180x-8

180x resulta em um número par. Todo número par somado ou subtraído com par resulta em par. Assim, N é par.

2) A é ímpar e B é par.
N = 81(2x-1)+9.2x+1
N = 180x-80
180x resulta em um número par. Todo número par somado ou subtraído com par resulta em par. Assim, N é par.

3) A par e B par.

N = 81.2x+9.2x+1

N = 180x+1

180x resulta em um número par. Todo número par somado ou subtraído com ímpar resulta em ímpar. Assim, N é ímpar.

4) A ímpar e B ímpar.

N = 81(2x-1)+9(2x-1)+1

N = 180x-89

180x resulta em um número par. Todo número par somado ou subtraído com ímpar resulta em ímpar. Assim, N é ímpar.

Assim, não será possível decidir se (AB1)9 é par, pois N será par apenas se A for par e B for ímpar ou A for ímpar e B for par.

b)
Seja o número (CD3)9 denominado N, temos que N = 81C+9D+3.

Como a soma de C e D resultam em um número ímpar, tem-se que C é par e D é ímpar ou C é ímpar e D é par.

Considerando que todos os números inteiros pares sejam definidos como 2x e os inteiros ímpares como 2x-1, tais que x ∈ ℤ, temos os seguintes casos:

1) C é par e D é ímpar.
N = 81.2x+9(2x-1)+3
N = 180x-6
180x resulta em um número par. Todo número par somado ou subtraído com par resulta em par. Assim, N é par.

2) C é ímpar e D é par.
N = 81(2x-1)+9.2x+3
N = 180x-78
180x resulta em um número par. Todo número par somado ou subtraído com par resulta em par. Assim, N é par.

Assim, o número (CD3)9 será par.

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